Démonstrations exigibles pour le bac


Suites s


Théorème de comparaison (push à droite)

Si  un  et  vn  sont deux suites telles que n  , un  vn et si lim un   alors lim vn  
n n




Démonstration :

Soit A un réel fixé :

 Comme lim un   , on a donc par définition A  un à partir d’une certaine valeur N
n
de l’indice n.

 Comme n  , un  vn , on a donc A  un  vn à partir de la valeur N de l’indice n et donc
en particulier A  vn

En conclusion : Quel que soit le réel A fixé, on a A  vn à partir d’une certaine valeur N de
l’indice n, ce qui démontre par définition que lim vn  
n




Limite de avec

Si q  1 alors lim q n   
n  




Démonstration :

On part de l’inégalité n  , x  0 ; 1  nx  (1  x)n (Inégalité de Bernoulli)
Soit q un réel strictement supérieur à 1. On peut alors écrire q  1  x avec x  0 .
D’après l’inégalité précédente, on a alors : n  ,1  nx  q n (*)

Maintenant : lim n     lim nx     lim 1  nx    .
n x  0 n  Somme n 
Produit

Finalement d’après l’inégalité (*), la limite précédente et les théorèmes de comparaison, on tire :
lim q n   
n 




Démonstrations exigibles pour le bac TS Lycée Beaussier 1
 Fonction exponentielle s



Définition / propriété : Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle notée x  exp  x  ou encore x  e x est l’unique fonction définie sur
vérifiant :
Pour tout réel x, exp  x   exp  x  et exp  0   1

Démonstration :

On admet que la fonction exponentielle est strictement positive sur .

Démontrons l’unicité de la solution :
Supposons qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur telle que f  0   1 et x  , f  x   f  x 
f  x
Considérons maintenant la fonction r définie pour tout réel x par r  x   .
exp  x 
r est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas
puisque l’exponentielle est strictement positive sur . Maintenant :
f  x   exp  x   f  x   exp  x 
 f  x  car f   f
 exp x  car exp  exp f  x   exp  x   f  x   exp  x 
x  , r  x    0
 exp  x    exp  x  
2 2


Par suite, r est de dérivée nulle sur l’intervalle   ;   et est par conséquent constante.
f  x f  01
On déduit que pour tout réel x : r  x    r  0    1  x  , f  x   exp  x 
exp  x  exp  0 1
On conclut que : f  exp d’où l’unicité de la solution


Limites de l’exponentielle

 lim e x  
x

 lim e x  0
x



Démonstration :

 On admet (ou démontre par l’étude des variations sur de la fonction g : x  e x  x  1
puis du signe de g  x  )
que x  , x  1  e x , or lim x  1   et donc lim e x   par théorèmes de comparaison
x  x



 Posons X   x  x   X : lim X  lim  x   donc par changement de variable :
x   x 

1
lim e x  lim e X  lim X
 0 car lim e X   par le point précédemment démontré
x   X  X  e X 




Démonstrations exigibles pour le bac TS Lycée Beaussier 2
 Probabilités s

Transfert de l’indépendance aux événements contraires

Si A et B sont deux événements indépendants, alors ̅ le sont aussi


Démonstration :
On sait que B   A  B    A  B  et que C et D sont disjoints. Par suite :
C D

   
p  B   p  C   p  D   p  A  B   p A  B . D’où : p A  B  p  B   p  A  p  B   p  B   1  p  A  
 p  A p  B 
car A et B sont
 
p A
indépendants

   
 p A  B  p A  p  B  D’où l’indépendance annoncée de ̅ .



Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle

1
On considère une variable aléatoire X E (λ) . Alors E  X  


Démonstration :

E  X   lim x f X  x  dx  lim  x  e  dx  x  e   x  dx  lim  g  x  dx
B B B B
  
  x
 lim
B   0 B   0 B   0 B   0

Car f X est nulle sur    ; 0
posons

g  x   x e  x 
 g  x  dx
B
Calculons  0


 
Pour cela, dérivons g : g   x   x  e  x   e  x  x   e  x   e  x   xe  x  e  x   g  x 
 g  x
u v  uv 
  u v 
B
 1 
Donc  g  x   e  x  g   x    g  x  dx  e  x  g   x  dx   e  x  g  x 
B B
 0  0
  0
 1   1 
1