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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: mariaferojas
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 2.96 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 03/09/2025 - 19:35:04
Uploadeur Uploader: mariaferojas (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : https://tipla.net/a4831777
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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1ã Método de Punto Fijo Idea: Resolver f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 reescribiéndolo como x = g ( x ) x = g(x) x = g ( x ) La raíz x x^* x cumple x = g ( x ) x^* = g(x^*) x = g ( x ) . Iteración: x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1} = g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) Criterio de parada: # x n + 1 x n # < µ o # f ( x n ) # < µ |x_{n+1} - x_n| < varepsilon quad o quad |f(x_n)| < varepsilon # x n + 1 x n # < µ o # f ( x n ) # < µ Convergencia: Si # g 2 ( x ) # < 1 |g'(x)| < 1 # g 2 ( x ) # < 1 en el intervalo. 2ã Método de Newton-Raphson (una variable) Idea: Aproximar la raíz usando la tangente de f ( x ) f(x) f ( x ) : Iteración: x n + 1 = x n f ( x n ) f 2 ( x n ) x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n f 2 ( x n ) f ( x n ) Criterio de parada: # x n + 1 x n # < µ |x_{n+1} - x_n| < varepsilon # x n + 1 x n # < µ Convergencia cuadrática: Si f 2 ( x ) ` 0 f'(x^*) neq 0 f 2 ( x ) = 0 . 3ã Método de Bisección Idea: Para f ( a ) Å f ( b ) < 0 f(a)cdot f(b) < 0 f ( a ) Å f ( b ) < 0 , hay raíz en [ a , b ] [a,b] [ a , b ] . Iteración: c = a + b 2 , si f ( a ) Å f ( c ) < 0 entonces b = c , else a = c c = frac{a+b}{2}, quad text{si } f(a)cdot f(c)<0 text{ entonces } b=c text{, else } a=c c = 2 a + b , si f ( a ) Å f ( c ) < 0 entonces b = c , else a = c Error: # c x # d b a 2 n despu e Ê s de n iteraciones |c - x^*| le frac{b-a}{2^n} quad text{después de n iteraciones} # c x # d 2 n b a despu e Ê s de n iteraciones 4ã Método de Newton para sistemas (matrices) Para F ( x ) = 0 mathbf{F}(mathbf{x}) = 0 F ( x ) = 0 , x R n mathbf{x}in mathbb{R}^n x R n : Jacobian: J ( x ) = [ f 1 x 1 & f 1 x n î î f n x 1 & f n x n ] J(mathbf{x}) = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & dots & frac{partial f_1}{partial x_n} \ vdots & & vdots \ frac{partial f_n}{partial x_1} & dots & frac{partial f_n}{partial x_n} end{bmatrix} J ( x ) = x 1 f 1 î x 1 f n & & x n f 1 î x n f n Iteración: x k + 1 = x k J ( x k ) 1 F ( x k ) mathbf{x}_{k+1} = mathbf{x}_k - J(mathbf{x}_k)^{-1} mathbf{F}(mathbf{x}_k) x k + 1 = x k J ( x k ) 1 F ( x k ) Alternativa práctica: Resolver sistema lineal J ( x k ) x k = F ( x k ) , x k + 1 = x k + x k J(mathbf{x}_k) Delta mathbf{x}_k = -mathbf{F}(mathbf{x}_k), quad mathbf{x}_{k+1} = mathbf{x}_k + Delta mathbf{x}_k J ( x k ) x k = F ( x k ) , x k + 1 = x k + x k 5ã Errores Error absoluto: E a = # x x # E_a = |x - x^*| E a = # x x # Error relativo: E r = # x x # # x # E_r = frac{|x - x^*|}{|x^*|} E r = # x # # x x # Made with nCreator - tiplanet.org
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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1ã Método de Punto Fijo Idea: Resolver f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 reescribiéndolo como x = g ( x ) x = g(x) x = g ( x ) La raíz x x^* x cumple x = g ( x ) x^* = g(x^*) x = g ( x ) . Iteración: x n + 1 = g ( x n ) x_{n+1} = g(x_n) x n + 1 = g ( x n ) Criterio de parada: # x n + 1 x n # < µ o # f ( x n ) # < µ |x_{n+1} - x_n| < varepsilon quad o quad |f(x_n)| < varepsilon # x n + 1 x n # < µ o # f ( x n ) # < µ Convergencia: Si # g 2 ( x ) # < 1 |g'(x)| < 1 # g 2 ( x ) # < 1 en el intervalo. 2ã Método de Newton-Raphson (una variable) Idea: Aproximar la raíz usando la tangente de f ( x ) f(x) f ( x ) : Iteración: x n + 1 = x n f ( x n ) f 2 ( x n ) x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)} x n + 1 = x n f 2 ( x n ) f ( x n ) Criterio de parada: # x n + 1 x n # < µ |x_{n+1} - x_n| < varepsilon # x n + 1 x n # < µ Convergencia cuadrática: Si f 2 ( x ) ` 0 f'(x^*) neq 0 f 2 ( x ) = 0 . 3ã Método de Bisección Idea: Para f ( a ) Å f ( b ) < 0 f(a)cdot f(b) < 0 f ( a ) Å f ( b ) < 0 , hay raíz en [ a , b ] [a,b] [ a , b ] . Iteración: c = a + b 2 , si f ( a ) Å f ( c ) < 0 entonces b = c , else a = c c = frac{a+b}{2}, quad text{si } f(a)cdot f(c)<0 text{ entonces } b=c text{, else } a=c c = 2 a + b , si f ( a ) Å f ( c ) < 0 entonces b = c , else a = c Error: # c x # d b a 2 n despu e Ê s de n iteraciones |c - x^*| le frac{b-a}{2^n} quad text{después de n iteraciones} # c x # d 2 n b a despu e Ê s de n iteraciones 4ã Método de Newton para sistemas (matrices) Para F ( x ) = 0 mathbf{F}(mathbf{x}) = 0 F ( x ) = 0 , x R n mathbf{x}in mathbb{R}^n x R n : Jacobian: J ( x ) = [ f 1 x 1 & f 1 x n î î f n x 1 & f n x n ] J(mathbf{x}) = begin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & dots & frac{partial f_1}{partial x_n} \ vdots & & vdots \ frac{partial f_n}{partial x_1} & dots & frac{partial f_n}{partial x_n} end{bmatrix} J ( x ) = x 1 f 1 î x 1 f n & & x n f 1 î x n f n Iteración: x k + 1 = x k J ( x k ) 1 F ( x k ) mathbf{x}_{k+1} = mathbf{x}_k - J(mathbf{x}_k)^{-1} mathbf{F}(mathbf{x}_k) x k + 1 = x k J ( x k ) 1 F ( x k ) Alternativa práctica: Resolver sistema lineal J ( x k ) x k = F ( x k ) , x k + 1 = x k + x k J(mathbf{x}_k) Delta mathbf{x}_k = -mathbf{F}(mathbf{x}_k), quad mathbf{x}_{k+1} = mathbf{x}_k + Delta mathbf{x}_k J ( x k ) x k = F ( x k ) , x k + 1 = x k + x k 5ã Errores Error absoluto: E a = # x x # E_a = |x - x^*| E a = # x x # Error relativo: E r = # x x # # x # E_r = frac{|x - x^*|}{|x^*|} E r = # x # # x x # Made with nCreator - tiplanet.org
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