TSI2 2020-2021 C. Bonnand 1




Travaux dirigés VIII
Électromagnétisme
Description électrique d’une ligne coaxiale
(Banque PT 2008)

Un câble coaxial est constitué par deux cylindres coaxiaux parfaitement conducteurs, de même axe
Oz, et de rayons respectifs r1 , r2 et (r2 + e), et de longueur ℓ. La longueur de la ligne ℓ est assez grande
devant r1 et r2 pour que l’on puisse négliger les effets d’extrémités : on considère que les symétries et
invariances sont les mêmes que si la longueur ℓ était infinie.




L’espace entre les deux conducteurs contient un isolant, homogène et isotrope de permittivité relative
εr = 2, 0. On rappelle que la permittivité absolue ε de l’isolant est liée à sa permittivité relative par la
relation ε = ε0 εr , la notation ε0 désignant la permittivité absolue du vide.

Pour les applications numériques, on prendra : r1 = 0, 15 cm, r2 = 0, 50 cm, ℓ = 10 m, e =
0, 10 cm, ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 .
Le conducteur intérieur est porté au potentiel V1 constant et le conducteur extérieur au potentiel V2 ,
qu’on suppose nul. Les conducteurs, en équilibre électrostatique, portent alors respectivement les charges
électriques +Q et −Q, supposées uniformément réparties sur les deux seules surfaces des conducteurs
qui sont de rayon r1 et r2 .
1. Montrer que le champ électrique est radial et que sa valeur algébrique ne dépend que de r, soit :
→
−
E = E(r) ~ur .

2. Établir l’expression de E(r) en fonction de Q, de la permittivité ε = ε0 εr de l’isolant, de r et de ℓ en
distinguant les trois cas : r < r1 , r1 < r < r2 et r2 < r < (r2 + e). Il est rappelé que l’expression
de E(r) demandée se déduit de celle obtenue dans le cas d’un câble coaxial “à vide” en remplaçant
la permittivité absolue ε0 du vide par celle, ε, du matériau isolant.

3. Montrer que, dans le domaine r > (r2 + e), E(r) = 0.

4. Tracer le graphe de E(r).

5. Commenter physiquement les éventuelles discontinuités de E(r) à la traversée des cylindres de
rayons r1 , r2 et (r2 + e).
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6. Exprimer la tension U12 = V1 − V2 en fonction de Q, ε = ε0 εr , ℓ, r1 et r2 .
7. Montrer que la capacité par unité de longueur du câble coaxial, notée C1 est donnée par :
2πε
C1 =   .
r2
ln
r1
8. En déduire simplement l’expression de l’énergie électrostatique We emmagasinée par le câble coaxial
de longueur ℓ.
9. Calculer la valeur numérique de C1 .
10. Calculer la valeur numérique de We pour une tension U12 = 10 V entre les armatures du câble.

Champ de gravitation(Banque PT 2008)

Données: Masse de la Terre: MT = 6, 0.1024 kg; Masse du Soleil MS = 2, 0.1030 kg, distance
moyenne Terre-Soleil dT S = 1, 5.1011 m, constante de gravitation universelle G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 .

Dans cette partie, le Soleil et la Terre sont assimilés à des sphères homogènes.
1. Exprimer, en un point A, le champ électrique E(A) ~ créé par une charge ponctuelle q placée en un
−→
point O, en posant : OA = r et ~ur = r . OA

2. On considère une surface sphérique S, de centre O.
2.1. Rappeler l’énoncé du théorème de Gauss pour le champ électrostatique.
2.2. Déterminer le flux Φ du vecteur E ~ sortant de S.

3. On considère une boule de rayon R uniformément chargée, de charge totale Q.
3.1. Déterminer le champ électrostatique E(r)~ que cette boule crée à une distance r de son centre O
pour r compris entre 0 et +∞, en fonction de Q, ~ur , r et R. On distinguera le cas 0 < r < R du
cas R < r < +∞.
3.2. Rappeler la relation entre champ et potentiel électrostatiques.
3.3. En déduire le potentiel électrostatique U (r) de la sphère de charge totale Q en fonction de r. On
supposera ce potentiel nul à l’infini, et distinguera le cas 0 < r < R du cas R < r < +∞.
4. Exprimer l’énergie d’interaction électrique entre la boule de la question 3 et une charge q ponctuelle
placée à la distance r de son centre O.
5. On procède à présent par analogie formelle entre champ électrique et champ gravitationnel.
5.1. Exprimer, en un point A, le champ gravitationnel ~g(A) créé par une masse ponctuelle m placée en
−→
un point O, en posant : OA = r et ~u = OA .
r r
5.2. Présenter précisément les couples de grandeurs analogues (exemple : charge et masse).
5.3. On considère une boule de rayon R homogène, de masse M . Déterminer le champ gravitationnel
que cette boule crée à une distance r de son centre O, pour r compris entre 0 et +∞.
5.4. Application numérique : calculer l’intensité gST du champ de gravitation créé par le Soleil à la
surface de la Terre puis l’intensité gT S du champ de gravitation créé par la Terre à la surface du
Soleil.
5.5. Déterminer l’énergie d’interaction gravitationnelle entre la Terre supposée ponctuelle et le Soleil.
5.6. Application numérique.