TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2014/2015 - J. Aurouet
- Intégration -

 INTÉGRATION SUR UN SEGMENT :
Soient a, b ∈ R, a < b, I := [a, b] et f une fonction dénie et continue sur I
Calcul à l'aide de primitives : Si on connaît une primitive F de f sur I

alors : a f (t)dt = F (b) − F (a).
Rb

Intégration par partie : Si f s'écrit u · v alors :
0

u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)]a − a u (t)v(t)dt.
Rb 0 b
Rb 0
a
A vérier : u et v sont de classe C 1 sur [a, b].
Changement de variable : On pose t = ϕ(u) pour écrire :
Rb R ϕ−1 (b)
a
f (t)dt = f (ϕ(u)ϕ0 (u)du
ϕ−1 (a)
A vérier : La fonction ϕ : [ϕ−1 (a), ϕ−1 (b)] → [a, b] est de classe C 1 et
strictement monotone.
Formule de la moyenne : Si f et g sont continues sur [a, b] alors il existe
c ∈ [a, b] tel que :
Rb Rb
a
f (t)g(t)dt = f (c) a g(t)dt
A vérier : g est à valeurs positives.

 INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE :
Soient (a, b) ∈ (R ∪ {−∞}) × (R ∪ {+∞}), a < b, I :=]a, b[ et f une fonction
dénie et continue sur I
Intégrale convergente : On dit que f (t)dt converge si pour tout c ∈]a, b[ :
Rb
a
- la fonction x 7→ c Rf (t)dt admet une limite lorsque x tend vers b.
Rx

- et la fonction x 7→ x f (t)dt admet une limite lorsque x tend vers a.
c

Exemples :

- 1 t1α dt converge ssi α > 1. - 0 t1α dt converge ssi α < 1.
R +∞ R1

- 0 t1α dt diverge toujours. - 0 e−αt dt converge ssi α > 0.
R +∞ R +∞

- 0 ln(t)dt converge.
R1

Sommer dans le bon sens : Si f et g sont continues sur I et si
Rb
a
f (t)dt
et a g(t)dt convergent alors a (f (t) + g(t))dt converge et vaut la somme des
Rb Rb

intégrales de f et de g . La réciproque est fausse.
Calcul à l'aide de primitives : a ∈ R, b ∈ R ∪ {+∞}, a < b. Si f est

continues sur [a, b[ telle que a f (t)dt converge et telle qu'il existe une primitive
Rb

F de f sur [a, b[ alors :
Rb
f (t)dt = limx→b F (x) − F (a).
a
Théorème de comparaison : Soient f et g deux fonctions dénies et continues
sur [a, b[ et telles que pour tout t au voisinage de b (i.e. pour tout t appartenant
à un petit intervalle [c, b[ où c ∈ [a, b[) on a :
f (t) ≤ g(t) ou f (t) = ob (g(t)) ou f (t) = Ob (g(t)). Alors :

g(t)dt converge =⇒ a f (t)dt converge.
Rb Rb
a

Et si f ∼ g au voisinage de b alors :
f (t)dt et g(t)dt sont de la même nature.
Rb Rb
a a

A vérier : f et g sont à valeurs positives (ou on se ramène à ce cas).

1
Intégration par partie pour une intégrale impropre :

Si f est continues sur I = [a, b[ telle que f (t)dt converge et telle que f s'écrit
Rb
a
u · v 0 alors :

A vérier : u et v sont C 1 sur [a, b[ ET on calcule limx→b u(t) · v(t) (ou si c'est
plus simple on étudie a u0 (t) · v(t)dt).
Rb


limx→b u(t)·v(t) existe (⇔ u0 (t)·v(t)dt converge). Alors on écrit :
Rb
- 1er cas :
a

u(t)v 0 (t)dt = [limx→b u(x) · v(x) − u(a)v(a)] − a u0 (t)v(t)dt.
Rb Rb
a

- 2ème cas : limx→b u(t) · v(t) n'existe pas (⇔ u (t) · v(t)dt diverge). Alors
Rb 0
a
on doit prendre un x ∈ [a, b[ et écrire :
u(t)v 0 (t)dt = [u(x) · v(x) − u(a)v(a)] − a u0 (t)v(t)dt,
Rx Rx
a
puis tenter de trouver une limite quand x tend vers b pour tout le membre de
droite.

Changement de variable pour une intégrale impropre :
Si f est continues sur I = [a, b[ et qu'on souhaite poser t = ϕ(u) on écrit :
Rb Rβ
a
f (t)dt = α
f (ϕ(u)ϕ0 (u)du
A vérier : {α, β} = {limu→a ϕ(u), limu→b ϕ(u)} et ϕ : ]α, β[→]a, b[ est de
classe C 1 et strictement monotone. Et R:
- Si on cherche à étudier la nature de a f (t)dt on dit :
b

" a f (t)dt est de même nature que α f (ϕ(u)ϕ0 (u)du."
Rb Rβ

- Si a f (t)dt converge et qu'on cherche à calculer sa valeur on dit :
Rb

" a f (t)dt converge et sa valeur est égale à α f (ϕ(u)ϕ0 (u)du."
Rb Rβ


 INTÉGRABILITÉ :
Def : Soit f une fonction dénie et continue sur un intervalle I (= [a, b], [a, b[, ]a, b[)

quelconque. On dit que f est intégrable sur I si a |f (t)|dt converge.
Rb

Prop : f intégrable sur I =⇒ f (t)dt converge. La réciproque est fausse
Rb
a
(contre exemple : t 7→ t sur R+ ). On écrit alors :
sin(t) ∗

f (t)dt = I f (t)dt = I f .
Rb R R
a
Prop : Si f est continue sur I alors :
- RI |f | = 0 ⇒R f = 0̃ sur I .
R

- I f (t)dt ≤ I |f (t)|dt.
Prop : Inégalité de Cauchy-Schwarz. Si f et g sont continues sur I et
telle que f 2 et gq 2
sont intégrables
q sur I , alors f g est intégrable sur I et :
R R R
I
f (t)g(t)dt ≤ I
f 2 (t)dt · I
g 2 (t)dt

 À CONNAÎTRE : √
2 .
R +∞ 2 π
Intégrale de Gauss :
0
e−t dt =
Idées fausses :
- f est intégrable sur R+ donc limt→+∞ f (t) = 0. Réciproque également fausse.
- fR est intégrable sur I donc f est bornée sur I . Réciproque également fausse.
- a f (t)dt ≥ 0 donc ∀t ∈ I, f (t) ≥ 0. C'est la réciproque qui est vraie.
b




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