DS N°7 MECANIQUE :
CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DU
POINT
Avertissements : DS de 2h.
Tout résultat non justifié entrainera une pénalité.
Toutes les parties sont indépendantes.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité sera considérée comme fausse.
Si au cours de l’épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d’énoncé, vous le signalerez
sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous
avez été amené à prendre.
Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.
On veillera au respect des chiffres significatifs.
On rappelle également que si un résultat donné par l’énoncé s’avère non démontré, il peut
néanmoins être admis pour la suite de l’épreuve.
Enfin, la plus grande importance sera donnée la qualité de la rédaction et de la présentation des
résultats obtenus. Les résultats littéraux devront être encadrés et les applications numériques
soulignées.
Merci de numéroter vos copies et de mettre votre nom sur chaque copie.


** La calculatrice collège est autorisée **

Problème 1 : cinématique d'un tour d'usinage (~???????? ????????????)

Un tour d'usinage est une machine – outil
permettant la fabrication de pièces
mécaniques ayant une symétrie de
révolution (image 1). Il comporte
notamment un mandrin (image 2)
servant à maintenir la pièce à usiner et à
l'entraîner en rotation.

A partir de l'instant ???? = 0 de démarrage, la vitesse angulaire ????(????) du mandrin évolue selon une loi
de la forme :
????
????(????) = ????1 (1 − exp (− )) ???????????????? ????1 = 2,0 × 103 ????????. ????????????−1 (???????????????? ???????????? ????????????????????????) ???????? ???? = 0,23????.
????


On étudie le mouvement d'un point ???? lié à la pièce en rotation et situé dans
un plan orthogonal à l'axe (????????) de rotation de la machine. On note (????⃗⃗⃗⃗???? ; ⃗⃗⃗⃗
???????? )
la base polaire, ???? étant la distance entre ???? et l'axe de rotation (????????). La
position de ???? est repérée par l'angle polaire ????.



1
 1. Donner la valeur numérique de ????1 ???????? ????????????. ???? −1 .
2. Tracer aussi précisément que possible l'allure du graphe ???? = ????(????). Au bout de quelle durée
la vitesse angulaire ????(????) aura-t-elle atteint au-moins 99 % de sa valeur finale ?
3. Déterminer l'expression de la vitesse ????(????) du point ???? lié au mandrin en rotation et situé à sa
périphérie c'est-à-dire à la distance ???? = 0,15???? de l'axe de rotation. Calculer numériquement
sa valeur à ???? = ????.
4. On appelle ???? le mandrin en rotation. Expliciter le vecteur accélération ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
????(???? ∈ ????⁄????)en fonction
du temps dans la base polaire (???? ⃗⃗⃗⃗???? ; ⃗⃗⃗⃗
???????? ). Distinguer dans les termes obtenus les composantes
tangentielle et normale du vecteur accélération. Calculer leur valeur à ???? = ????.



Problème 2 : Portrait de phase d'un pendule simple (~???????? ????????????)

Un pendule simple est constitué d'un point matériel ????, de masse ????, lié à l'extrémité d'un fil de
longueur ????, l'autre extrémité étant fixe en un point ????. On suppose que le mouvement a lieu dans le
plan vertical (????????????) (???????? verticale descendante et ???????? l'horizontale), et on repère la position de ???? avec
l'angle polaire ????. On néglige tout frottement de l'air environnant.

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'angle ???? en appliquant le théorème, loi ou
principe de votre choix.
2????
2. En déduire l'intégrale première du mouvement : ????̇ 2 − ???? cos ???? = ????????????. De quoi dépend la
constante ?

Le portrait de phase est constitué de courbes ayant l'allure ci-dessous, pour différentes valeurs de
la constante (avec ???? en radians et ????̇ en rad/s).




2
 3. A quel type de mouvement correspond la courbe (1) ? la courbe (2) ?

4. Considérons l'ellipse (3), correspondant à un mouvement d'oscillateur harmonique.
Déterminer les expressions de ????(????) et ????̇ (????) dans ce cas. On choisira comme origine des temps,
l'instant où le pendule possède la plus grande amplitude possible (avec ????(???? = 0) > 0). A
partir de la lecture du graphe, déterminer la longueur ???? du pendule.

5. On suppose maintenant qu'on lance le pendule, depuis la position ????(???? = 0) = 0, avec une
vitesse horizontale de norme ????(???? = 0) = 9,0 ????. ???? −1 . Déterminer son type de mouvement d'après
le graphe.



Problème 3 : Ski nautique - Epreuve de saut (~???????? ????????????)

Un skieur de masse ???? = 80 ???????? et assimilé à un point matériel M est tiré par un bateau à l'aide d'une
corde parallèle à la surface de l'eau. Il démarre sans vitesse initiale du point A.

Le skieur lâche la corde en B et passe sur un tremplin BC. Il arrive en C avec une vitesse ???????? =
72 ????????. ℎ−1 , effectue un saut et retombe sur l'eau en D.

L'étude mécanique sera effectuée dans le référentiel terrestre local supposé galiléen.




On suppose que :
• Sur le trajet AB la force de traction ???? de la corde est constante et l'ensemble des forces de
frottement est équivalent à une force unique ???? opposée au mouvement et d'intensité ???? =
100 ????.
• De B à D tous les frottements sont négligeables

Données :
???? = 10 ????. ???? −2 ; ???? = ???????? = 200 ????; ℎ = 3,0 ????




3
Première partie : Le mouvement du skieur avant le saut

1.1. Enoncer en une phrase et une formule le théorème de l'énergie cinétique.
1.2. Les forces s'exerçant sur le skieur au cours du trajet AB sont représentées sur la figure.
Reproduire cette figure et la compléter en représentant au point M les forces qui sont appliquées au
skieur.
1.3. Donner les expressions littérales des travaux fournis par les forces s'exerçant sur le skieur
au cours des trajets AB puis BC.
1.4. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, exprimer l'intensité ???? de la force ???? (en
fonction de ????, ????, ℎ, ????, ???? ???????? ???????? ) pour que le skieur arrive en C avec la vitesse ???????? .
1.5. Calculer F.



Deuxième partie : Le mouvement du skieur après le saut

2.1. Après avoir réalisé un bilan des forces, donner les composantes du vecteur accélération
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
????(???? ⁄???? ) quand le skieur a quitté le tremplin dans le repère (????; ⃗⃗⃗⃗
???????? ; ⃗⃗⃗⃗
???????? ).
2.2. Représenter sur un schéma au point C, sans échelle précise, le vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗
???????? du skieur
lorsqu'il arrive en ce point.
2.3. Etablir les équations horaires du mouvement puis l'équation de la trajectoire du skieur
après le point C.
2.4. Quelle est la nature de la trajectoire du skieur au-cours du saut ? Dessiner son allure sur
la figure.
2.5. Quelle est la valeur de la vitesse ???????? du skieur au sommet S de la trajectoire ? Justifier la
réponse.
2.6. Etablir l'équation donnant la position ???????? du point D dans le repère (????; ????
⃗⃗⃗⃗???? ; ⃗⃗⃗⃗
???????? ).
2.7. Résoudre cette équation en donnant la position ???????? atteinte.




4
CORRECTION DS 7




1
2
3
 2.7. On résout cette équation du second degré en calculant le discriminant :
2????ℎ
????????????2 ???? + 2
4????ℎ ????0
∆= (tan ????)2 + 2 2
= 2 > ????.
2????0 ???????????? ???? ???????????? ????
tan ???? √∆
???????? admet deux solutions réelles, ????????± = ???? ± ???? on ne garde que la solution positive :
????2 2
0???????????? ???? ????2 2
0 ???????????? ????
????0
???????? = cos ???? × (????0 sin ???? + √2????ℎ + ????02 sin2 ????)
????




...