Chap 5 : Séries de fonctions


Chap 5 : Séries de fonctions
I. Convergence simple
( X , d ) espace métrique, E evn
1
Série géom :  z n , z  | z | 1 : CV de somme | z | 1 DV
1 z
an
Série exponentielle : ( A, ) algèbre de Banach, a  A  n! CV (car ACV)

zn
Logarithme complexe :  (  Log (1  z ) pour z  D(0,1)) | z | 1 ACV, z  1 DV, | z | 1, z  1 CV (Abel)
n

zn      
Pour z  ei ,    ln  2sin   i   
n 1 n  2  2 2

1 1
 ( z)   CV si Re( z )  1  ( z)  ACV pour Re( z )  0
n 1 n
z
z 1

II. Modes de convergence
C'est celui des sommes partielles :  un CVU  U n CVU


(I )
(un )  F ( X , E )  un CVU   un CVS et la suite des restes Rn ( x)   u ( x) CVU vers 0
k n 1
n




Critère de Cauchy uniforme (CCU) :  un série de fonctions X  E
m

 un CVU    0, n  , m  n  n , x  X ,  u ( x)
k  n 1
k 

Condition suffisante si E est complet

qn
Négation :   0, pn  qn croissant vers  , ( xn )n  X , n  ,  u (x )
k  pn
k n 

// HP //
(un )  C ( X , E ) avec E complet. u n CVU sur A  X , un CVU sur A

u n série de fonctions X  E u n converge normalement lorsque  un 
CV
En pratique : ( n )   , n  , x  X , un ( x)   n et  n CV

E complet : CVN  CVU

x  X ,  n ( x)   et  n ( x) 0

// HP //
Méthode d'Abel : ( n ),(vn )  F ( X , ) tq  n

x  X , vn ( x)  et  v ( x)
k est bornée
 k 0

   k vk CVS Si  n CVU vers 0,   k vk CVU

III. Propriétés de la somme
(un )n  F( X , E) , a  X tq n, un C  en a. S'il existe U  V(a) sur lequel un CVU, la sommeun est C  en a

 est C  sur   {z  ,Re( z)  1}

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Chap 5 : Séries de fonctions

Interversion des limites : A  X , a  A, (un ) n  F ( X , E ) . Si  un CVU sur A, n  , lim un ( x)   n
x a
xA
   
et E est complet :  n CV et f   un possède une limite  n en a : lim  fn ( x)   lim fn ( x)
n 0 n 0
x a x a
xA n 0 n 0 xA



1
 {rn }n , un ( x)  0 si x  rn , n
si x  rn : f   un , est strictement croissante et l'ens. de ses pts de discont° est
2 n 0




u CVU vers u  C pm ([a, b], )    un CV de somme  u
b b
(un )n  C pm ([a, b], p
) n a a

(un )  C ([a, b],
1 p
)  u (a) CV et  u
n n ' CVU sur [a, b], de somme V
  un CVU sur [a, b] de somme U C 1 , avec U '  V

(k )
    
Extension :  un CVS sur [a, b], k  1, p ,  u CVU sur [a, b]   un est C ,   un 
(k )
n
p
  un( k )
n 0  n 0  n0

Sur un intervalle I non compact, on travaille sur les segments inclus dans I

1 1
x ]1, [,  ( x)   est de classe C  sur ]1; [  ( x) ~ x1 lim  ( x)  1
n 1 n
x
x 1 x 



x  ( x)   e n x est de classe C  sur  ( x) ~ 0 ...