Chap 14 : Matrices


Chap 14 : Matrices
I. Généralités
corps commutatif, I , J ensembles finis non vides totalement ordonnés.
MI , J ( )  F ( I  J , ) est un  ev (lorsqu'il est muni des lois naturelles).
Pour A  MI , J ( ), A(i, j ) est le coefficient d'indice (i, j ) de A  [ai j ](i , j )I J

( Ei j )(i , j )I J de MI J ( ) définie par Ei , j (i, j )  1 et Ei j (k , l )  0 (si (k , l )  (i, j )) est une base de MI J ( )

dim MI , J ( ) | I || J | Si I  J  1, n , Ei j Ek l   j k Ei l

n n
 [ X ]  Mn ( )
Si P   ak X k  [ X ] et A  Mn ( ), on pose P( A)   ak Ak  est un mph d'algèbres
k 0 k 1  P P ( A)

II. Matrice d’un endomorphisme
E, F  ev de dim n et m, u  L ( E, F ), (e)  (e1...en ) base de E , ( f )  ( f1... f m ) de F

n
On écrit pour j  1, n , u (e j )   ai j fi A  (ai j )  Mat( e ),( f ) (u )  [u ]((ef))  Mnn ( )
i 1


( x, y )  E  F , X  [ x]( e ) , Y  [ y ]( e ) y  u ( x)  Y  AX , et A est l'unique matrice

L ( E , F )  Mmn ( )

de Mm n ( ) vérifiant cette équivalence pour tout ( x, y )  E  F :  (f)
est un isomph

u [u ]( e )

( g ) base de G de dim finie. v  L ( F , G) [v u]((eg))  [v](( gf )) [u]((ef))

 n n
A  Mmn ( ). Le rang de A est celui de ses vecteurs colonne. Si f A   , rg( A)  rg( f A )
X AX

Si [u ](( ef))  A, rg u  rg A || A, B  Mmn ( ) 2 rg( A  B)  rg( A)  rg( B)
P  GLn ( ), Q  GLm ( ) rg( PA)  rg( A)  rg( AQ) || B  M pm ( ), rg( BA)  min(rg A,rg B)

III. Matrices inversibles
A  Mn ( ). On a équivalence entre :  A est inversible  A est inversible à gauche/droite
 A est régulière à gauche / droite  rg A  n  A représente un isomph
 Y  Mn1 ( ), le système AX  Y possède une unique solution
 det A  0  t A est inversible

IV. Changement de bases, équivalence
(e),(e ') bases de E , ( f ),( f ') bases de F

P  Mat( e ) (e '), Q  Mat( f ) ( f ') matrices de passage. x  E , X  [ x]( e ) , Y  [ y ]( f ) , X '  [ x]( e ') , Y '  [ y ]( f ')
X  PX ' Y  QY ' Si A  [u ](( ef)) , B  [u ](( ef ')') , B  Q 1 AP



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Chap 14 : Matrices

A et B  Mmn ( )2 sont équivalentes lorsqu'il existe ( R, S )  GLm ( )  GLn ( ) tq : B  RAS

C'est une relation d'équivalence. Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent un même
endomorphisme dans 2 bases différentes

 
1 0 
 
u  L ( E , F ) de rang r. Il existe une base (e) de E et une base ( f ) de F tq [u ](( ef))  J mn
r
 
 1

r
 
 0 0 
 

Deux matrices de Mmn ( ) sont équivalentes ssi elles ont le même rang

M  Mmn ( ), rg M  rg t M

A et B  Mn ( ) sont semblables s'il existe P  GLn ( ) tq B  P1 AP. C'est une relation d'équivalence

Si A est semblable à B, det A  det B, tr A  tr B et rg A  rg B Si f  [ X ], f ( B)  P 1 f ( A) P

P  GLn ( ), A P 1 AP est un automph d'algèbre.
Il y a une infinité de classes de similitudes dans Mn ( )

V. Déterminants
n
A  [ai j ]i , j 1,n  Mn ( ) det A    ( ) a ( j ) j
 Sn j 1


 
 A1  p
det A  det A
t
det AB  det A det B det 


   det Ak
 
0 Ap  k 1
 


 j 
 
Comatrice : Ci j  det 



i
, com( A)[(1)i  j Ci j ], A  t com( A), AA  AA  det A  I n

 
 
(I )
Cette identité reste valable dans un anneau commutatif :
si A Mn ( ), A est inversible dans Mn ( ) ssi | det A | 1

(I )
A  Mn ( ). Si rg A  n  2, A  0 Si rg A  n  1, rg A  1
1 1
x1 xn
Van der Monde : VdM ( x1 ...xn )   
1i  j  n
( x j  xi ) (Rec, Li  Li  xn Li 1 )

x1n1 xnn1

...