Chap 24 : Calcul différentiel


Chap 24 : Calcul différentiel
Préliminaire : Comparaison de fonctions à valeur dans un evn
( X , d ) espace métrique, A  X , a  A, ( E, ) evn.

f , g  F ( A, E ) f  a ( g )  U  V(a), r  0, x U  A, f ( x)  M g ( x)
 f  oa ( g )    0, U   V(a), x U   A, f ( x)   g ( x)
 f ~ a ( g )  f  g  oa ( g )
P est une propriété locale lorsque : f , g : A  E , (U  V(a) , f U  A  g U  A )  (P ( f )  P ( g ))

I. Différentiabilité
( E, E
) et ( F , F
) evn sur ou .  ouvert de E , a 

f :   F est différentiable en a s'il existe   LC ( E , F ) tq :
x , f ( x)  f (a)   ( x  a)  x  a  ( x) où lim  ( x)  0
x a


 f (a  h)  f (a)   (h)  o0 (h) C'est une propriété locale

f est différentiable sur  si elle l'est en tout point de 

f constante  f diff sur , avec   0 f linéaire    f f diff en a  C  en a

S'il existe   LC ( E, F ) tel que f (a  h)  f (a)   (h)  o0 (h), il est unique et est noté df a

a  I intervalle de , f : I  E evn. f dérivable en a  f différentiable en a

 Mn ( )  Mn ( )
 1 x x E
est diff. en 0 de diff. nulle f diff en A de diff H AH  HA
A A2
( E ,  |  ) ph réel  x diff en a  E de diff. h 2 a | h C 
2
E
n'est pas diff. en 0 x 2

f : E  F  G bilin. C   f diff en (a, b) de diff. (h, k ) f (a, k )  f (h, b)

Si f et g sont diff en a,  f   g est diff en a de diff df a  dga

  F1  ...  Fp

f diff en a  ssi f1... f p sont diff en a , et dans ce cas df a (h)  (df1a (h),..., df p a (h))

 x ( f1 ( x),..., f p ( x))
f :    ' ouvert de F , g :  '  G , a , b  f (a)  ' , f diff en a de diff  , g diff en b de diff 
 g f est diff en a de diff   d ( g f )a  dgb df a

df a (h)
f :   , diff en a    f 2 diff en a , d ( f 2 ) a : h 2 f (a)df a (h) d ( f ) a : h
2 f (a)
a
( E ,  |  ) eph réel, a  E {0}} 2
est diff en a de diff h h
a2


Règle de la chaîne :  : I  E arc dérivable en t0  I , avec  (t0 ) , f :   F diff en a
 f  est dérivable en t0 de dérivée df (t0 ) ( '(t0 ))

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Chap 24 : Calcul différentiel

II. Dérivée selon un vecteur, dérivée partielle
 ouvert de l'evn E , a , f : E  F evn

u  E. f possède une dérivée directionnelle selon le vecteur u lorsque  : t f (a  tu )
est définie au voisinage de 0 et possède une dérivée en 0

f diff en a  u  E , f possède une dérivée selon u , égale à df a (u)

x2 y
RECIPROQUE FAUSSE ( x, y)
x4  y 2

E et F de dim finie. (b1...bp ) base de F . (e)  (e1...en ) base de E.
p p
f   fi bi . f diff en a  les ( fi ) le sont, h  E , df a (h)   df i a (h)bi (vrai pour 
 normes equiv)
i 1 i 1



f possède des dérivées partielles selon (e) lorsque : i  1, n , f possède une dérivée de direction ei

f diff en a  f possède des dérivées partielles df a (ei ) RECIPROQUE FAUSSE

f f (a  tei )  f (a)
A base (e) fixée, on note (a)  lim si elle existe.
xi t 0
t 0
t
f f (a1 ,..., ai  t ,..., an )  f (a1 ,..., an )
Pour E  n
, on utilise la base canonique : (a)  lim
xi t 0
t 0
t

n n
f
Lorsqu'elle existe, la différentielle est :  hi ei  h x (a) i
i 1 i 1 i


E n
,F  p
,G q
 ouvert de n
, a , f :   p
f  ( f1... f n ) (composantes de f )

 f f1 
 1 (a) ( a ) 
 f   x
 1
xn

Si f est diff en a , sa matrice jacobienne en a est : J f (a )   i (a)    
 x   
 j i , j  f p
 (a)
f p
(a)
...