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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: beliqueux
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 27
Taille Size: 1.73 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 17/04/2021 - 05:46:41
Uploadeur Uploader: beliqueux (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725189

Description 

Maths PSI



Chap 7 : SÉRIES DE FONCTIONS



On considère une suite (f n )n ∈ℕ d’applications de I (intervalle) vers K (ℝ ou ℂ).


I. TROIS TYPES DE CONVERGENCE

1. Convergence simple

• Déf : On dit que la série de fonctions ∑fn converge simplement sur I


( )
n

ssi la suite de fonctions Sn = ∑ f k CVS sur I
k =0 n ∈ℕ


ssi ∀ x ∈I , la série numérique ∑ f n (x ) est convergente

• La fonction S définie par : x → ∑ f n (x )
n=0

s’appelle alors la fonction somme sur I.

2. Convergence uniforme

• Déf : On dit que la série ∑fn converge uniformément vers S sur I
ssi la suite de fonctions (S ) n n ∈ℕ
CV uniformément vers S sur I
ssi APCR , S n−S est bornée et : lim ‖S n −S‖∞ = 0
n→∞

ssi APCR , R n est bornée et : lim ‖R n ‖∞ = 0
n→∞



• Thme : CV uniforme ⇒ CV simple (avec la même somme)



3. Convergence normale

• Déf : On dit que la série ∑fn converge normalement sur I

ssi
{ APCR, f n est bornée sur I
la série numérique ∑ ‖f n ‖∞ est convergente


• Thme : CV normale ⇒ CV uniforme ⇒ CV simple




Page 1/2
II. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION SOMME


Attention : ∑fn n’est pas une somme de fonctions mais une limite de fonctions.
n =0



1. Continuité


{∑ ∀ n , f n est continue sur I
}
+∞
• Thme : Si alors ∑ fn est continue sur I.
f n CV uniformément sur I n=0




2. Limite aux bornes


• Thme : Si
{∑ ∀ n , f n admet une limite finie ℓn en a
f n CV uniformément sur un intervalle d'extrémité a }
{ ∑ ℓn
}
la série est CV
[ ] [
∞ ∞
alors +∞
∑ fn a une limite finie en a
et lim
x →a
∑ f n (x )
n =0
= ∑ lim f n (x )
n=0 x →a ]
n=0




3. Intégration terme à terme

• Thme : Si
{∑ ∀ n , f n est continue sur [a,b]
f n CV uniformément sur le segment [a,b] }
[ ]
b b


[ ]
∞ ∞
alors la série des intégrales est convergente et ∫ ∑ fn = ∑ ∫f n
a n=0 n =0 a



4. Dérivation terme à terme




{ }
1
∀ n , f n est de classe C sur I


• Thme : si ∑ fn CV simplement sur I


∑ ( f n )' CV uniformément sur I

∞ ∞ ∞
alors la somme ∑ fn
n=0
est de classe C¹ sur I et
( )
∑ fn
n=0
' = ∑ (f n )'
n=0


p
• Extension aux fonctions de classe C



Page 2/2
Maths PSI


Chap 8 : SÉRIES ENTIÈRES


Une série entière est une série de fonctions du type : ∑ an z n
n≥0


avec (a n )n ∈ℕ suite de K et z la variable dans K.

I. DOMAINE DE CONVERGENCE

1. Lemme d’Abel

Thme : soit Z ∈ℂ fixé. Si la suite (a Z )
n
n
n
est bornée, alors :

∀ z ∈ℂ, |z|<|Z| ⇒ la série ∑ an z n est ACV


2. Rayon de convergence

• Déf : R est la borne sup de : A = { ρ∈[ 0 , + ∞ [ / (a ρ ) n
n
n
est bornée }
• Thme de caractérisation : le rayon de CV est l’unique « nombre » R∈[0, +∞]

vérifiant : ∀ z ∈ℂ,
{ |z|<R ⇒ la série
|z|>R ⇒
∑ an z n
la série ∑ a n z
n
est CV
est DIV


• Rque : Do ( 0, R) ⊂ domaine de CV ⊂ D f (0, R )

• Rque : pour |z|<R la CV est absolue, pour |z|>R la DIV est grossière,

pour |z|=R c’est indéterminé.

3. Opérations sur les séries entières

• Thme 1 : produit par une constante non nulle

∑ an z n et ∑ λ an z n ont le même rayon de CV


• Thme 2 : somme de deux séries entières

➢ on a toujours R a +b ≥ min (R a ,R b )

➢ si R a≠R b alors R a +b = min (R a , R b )


• Thme 3 : produit de Cauchy
n
La série ∑ cn z n
définie par c n = ∑ a k bn−k vérifie : R c ≥ min (R a , R b)
k=0
4. Comparaison de ...

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