RésuméPlasticité
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description
Cours de Plasticité : Fiches « Résumés » du cours
Mohamed BEN BETTAIEB
2020/2021
Notations
Les scalaires seront notés en italique (par exemple la déformation scalaire en 1D sera notée ε ).
Les tenseurs d’ordre 2 seront notés en gras souligné par deux barres (par exemple le tenseur de
déformation en 3D sera noté ε ).
La contrainte limite ou seuil sera notée σ s .
La déformation plastique équivalente (resp. contrainte équivalente) sera notée εeqp (resp. σ eq ).
L’introduction des mesures équivalentes n’a de sens que dans le cas de la plasticité 3D.
Dans quelques problèmes traités pendant le séances d’ED, la déformation plastique équivalente
(resp. contrainte équivalente) est notée ε (resp. σ ).
Plasticité 1D
Dans ce cas, toutes les variables sont scalaires.
Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 1D
Décomposition additive de la déformation totale ε en une partie élastique ε e et une partie
plastique ε p :
ε εe ε p (1)
La loi élastique exprimant la contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e :
σ e1 ε e (2)
Dans le cas de l’élasticité linéaire classique, l’équation (2) sera réduite à la forme
suivante :
σ E εe (3)
avec E est le module d’Young du matériau.
Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil σ s :
f σ X σs 0 (4)
Dans le cadre de ce cours, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (4) sera réduite à l’expression suivante :
f σ σs 0 (5)
L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :
σ s e2 α (6)
Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (6) prend la forme particulière
suivante :
σ s σ0 Κ α (7)
avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.
Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (6) prend la forme suivante :
σ s Κ ε0 α
n
(8)
avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.
La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique ε p par la
relation suivante :
α ε p α ε p dt (9)
Si le chargement est monotone (sans changement de sens de chargement) en traction,
l’équation (9) sera naturellement réduite à la forme suivante :
α εp εp (10)
Si le chargement est monotone en compression, l’équation (9) sera naturellement réduite
à la forme suivante :
α ε p ε p (11)
Dans le cas d’un chargement cyclique (traction-compression-traction…), il faut
absolument utiliser l’intégration de l’équation (9) pour déterminer la variable
d’écrouissage α .
Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (4)) et de sa
dérivée f :
α0 ; f 0 ; α f 0 ; α f 0 (12)
Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( α 0 ) sauf si f 0 et f 0 .
Si α 0 , alors f 0 (et pas forcément strictement négative).
Plasticité 3D
Dans ce cas, quelques variables sont scalaires ( σ s , εeqp , σ eq …) et d’autres sont tensorielles ( ε , ε e , ε p
…).
Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 3D
Décomposition additive du tenseur de déformation totale ε en une partie élastique ε e et une
partie plastique ε p :
ε εe ε p (13)
La loi élastique exprimant le tenseur de contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e
:
σ e3 ε e (14)
Dans le cas de l’élasticité linéaire et isotrope, l’équation (14) sera réduite à la forme
indicielle suivante :
E e ν
σ ij
1 ν
εij
1 2ν
1
E
tr ε e δij εije 1 ν σ ij νtr σ δij (15)
Avec :
- E est le module d’Young du matériau et ν le coefficient de Poisson.
- σ ij est la ij éme composante du tenseur σ .
- tr ε e la trace du tenseur ε e .
- δij le symbole de Kronecker égal à 1 si i j et 0 sinon.
Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable tensorielle d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil
σs :
f σX eq
σs 0 (16)
Dans le cadre de ce module, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (16) sera réduite à l’expression suivante :
f σ
eq
σ s σ eq σ s 0 (17)
Le calcul de la contrainte équivalente σ eq au sens de von Mises sera détaillé plus loin
dans ce résumé.
L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :
σ s e4 α (18)
Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (18) prend la forme particulière
suivante :
σ s σ0 Κ α (19)
avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.
Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (18) prend la forme suivante :
σ s Κ ε0 α
n
(20)
avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.
La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique
équivalente εeqp par la relation suivante :
α εeqp α εeqp dt (21)
Le calcul de la vitesse de la déformation plastique équivalente εeqp au sens de von Mises
sera détaillé plus loin dans ce résumé.
Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (17)) et de sa
dérivée:
εeqp 0 ; f 0 ; εeqp f 0 ; εeqp f 0 (22)
Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( εeqp 0 ) sauf si f 0 et f 0
. Si εeqp 0 , alors f 0 (et pas forcément strictement négative).
La contrainte équivalente de von Mises σ eq est définie par l’équation suivante :
...
Mohamed BEN BETTAIEB
2020/2021
Notations
Les scalaires seront notés en italique (par exemple la déformation scalaire en 1D sera notée ε ).
Les tenseurs d’ordre 2 seront notés en gras souligné par deux barres (par exemple le tenseur de
déformation en 3D sera noté ε ).
La contrainte limite ou seuil sera notée σ s .
La déformation plastique équivalente (resp. contrainte équivalente) sera notée εeqp (resp. σ eq ).
L’introduction des mesures équivalentes n’a de sens que dans le cas de la plasticité 3D.
Dans quelques problèmes traités pendant le séances d’ED, la déformation plastique équivalente
(resp. contrainte équivalente) est notée ε (resp. σ ).
Plasticité 1D
Dans ce cas, toutes les variables sont scalaires.
Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 1D
Décomposition additive de la déformation totale ε en une partie élastique ε e et une partie
plastique ε p :
ε εe ε p (1)
La loi élastique exprimant la contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e :
σ e1 ε e (2)
Dans le cas de l’élasticité linéaire classique, l’équation (2) sera réduite à la forme
suivante :
σ E εe (3)
avec E est le module d’Young du matériau.
Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil σ s :
f σ X σs 0 (4)
Dans le cadre de ce cours, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (4) sera réduite à l’expression suivante :
f σ σs 0 (5)
L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :
σ s e2 α (6)
Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (6) prend la forme particulière
suivante :
σ s σ0 Κ α (7)
avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.
Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (6) prend la forme suivante :
σ s Κ ε0 α
n
(8)
avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.
La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique ε p par la
relation suivante :
α ε p α ε p dt (9)
Si le chargement est monotone (sans changement de sens de chargement) en traction,
l’équation (9) sera naturellement réduite à la forme suivante :
α εp εp (10)
Si le chargement est monotone en compression, l’équation (9) sera naturellement réduite
à la forme suivante :
α ε p ε p (11)
Dans le cas d’un chargement cyclique (traction-compression-traction…), il faut
absolument utiliser l’intégration de l’équation (9) pour déterminer la variable
d’écrouissage α .
Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (4)) et de sa
dérivée f :
α0 ; f 0 ; α f 0 ; α f 0 (12)
Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( α 0 ) sauf si f 0 et f 0 .
Si α 0 , alors f 0 (et pas forcément strictement négative).
Plasticité 3D
Dans ce cas, quelques variables sont scalaires ( σ s , εeqp , σ eq …) et d’autres sont tensorielles ( ε , ε e , ε p
…).
Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 3D
Décomposition additive du tenseur de déformation totale ε en une partie élastique ε e et une
partie plastique ε p :
ε εe ε p (13)
La loi élastique exprimant le tenseur de contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e
:
σ e3 ε e (14)
Dans le cas de l’élasticité linéaire et isotrope, l’équation (14) sera réduite à la forme
indicielle suivante :
E e ν
σ ij
1 ν
εij
1 2ν
1
E
tr ε e δij εije 1 ν σ ij νtr σ δij (15)
Avec :
- E est le module d’Young du matériau et ν le coefficient de Poisson.
- σ ij est la ij éme composante du tenseur σ .
- tr ε e la trace du tenseur ε e .
- δij le symbole de Kronecker égal à 1 si i j et 0 sinon.
Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable tensorielle d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil
σs :
f σX eq
σs 0 (16)
Dans le cadre de ce module, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (16) sera réduite à l’expression suivante :
f σ
eq
σ s σ eq σ s 0 (17)
Le calcul de la contrainte équivalente σ eq au sens de von Mises sera détaillé plus loin
dans ce résumé.
L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :
σ s e4 α (18)
Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (18) prend la forme particulière
suivante :
σ s σ0 Κ α (19)
avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.
Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (18) prend la forme suivante :
σ s Κ ε0 α
n
(20)
avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.
La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique
équivalente εeqp par la relation suivante :
α εeqp α εeqp dt (21)
Le calcul de la vitesse de la déformation plastique équivalente εeqp au sens de von Mises
sera détaillé plus loin dans ce résumé.
Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (17)) et de sa
dérivée:
εeqp 0 ; f 0 ; εeqp f 0 ; εeqp f 0 (22)
Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( εeqp 0 ) sauf si f 0 et f 0
. Si εeqp 0 , alors f 0 (et pas forcément strictement négative).
La contrainte équivalente de von Mises σ eq est définie par l’équation suivante :
...