Cours de Plasticité : Fiches « Résumés » du cours




Mohamed BEN BETTAIEB

2020/2021
 Notations



 Les scalaires seront notés en italique (par exemple la déformation scalaire en 1D sera notée ε ).

 Les tenseurs d’ordre 2 seront notés en gras souligné par deux barres (par exemple le tenseur de
déformation en 3D sera noté ε ).

 La contrainte limite ou seuil sera notée σ s .

 La déformation plastique équivalente (resp. contrainte équivalente) sera notée εeqp (resp. σ eq ).

L’introduction des mesures équivalentes n’a de sens que dans le cas de la plasticité 3D.

 Dans quelques problèmes traités pendant le séances d’ED, la déformation plastique équivalente
(resp. contrainte équivalente) est notée ε (resp. σ ).
 Plasticité 1D



Dans ce cas, toutes les variables sont scalaires.

Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 1D

 Décomposition additive de la déformation totale ε en une partie élastique ε e et une partie
plastique ε p :

ε  εe  ε p (1)

 La loi élastique exprimant la contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e :

σ  e1  ε e  (2)

Dans le cas de l’élasticité linéaire classique, l’équation (2) sera réduite à la forme
suivante :

σ  E εe (3)

avec E est le module d’Young du matériau.

 Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil σ s :

f  σ  X  σs  0 (4)

Dans le cadre de ce cours, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (4) sera réduite à l’expression suivante :

f  σ  σs  0 (5)

 L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :

σ s  e2  α  (6)

Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (6) prend la forme particulière
suivante :

σ s  σ0  Κ α (7)

avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.

Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (6) prend la forme suivante :

σ s  Κ  ε0  α 
n
(8)
 avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.

 La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique ε p par la
relation suivante :

α  ε p  α   ε p dt (9)

Si le chargement est monotone (sans changement de sens de chargement) en traction,
l’équation (9) sera naturellement réduite à la forme suivante :

α  εp  εp (10)

Si le chargement est monotone en compression, l’équation (9) sera naturellement réduite
à la forme suivante :

α  ε p  ε p (11)

Dans le cas d’un chargement cyclique (traction-compression-traction…), il faut
absolument utiliser l’intégration de l’équation (9) pour déterminer la variable
d’écrouissage α .

 Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (4)) et de sa

dérivée f :

α0 ; f 0 ; α f 0 ; α f 0 (12)

Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( α  0 ) sauf si f  0 et f  0 .
Si α  0 , alors f  0 (et pas forcément strictement négative).
 Plasticité 3D



Dans ce cas, quelques variables sont scalaires ( σ s , εeqp , σ eq …) et d’autres sont tensorielles ( ε , ε e , ε p

…).

Formulation générale d’un comportement élastoplastique en 3D

 Décomposition additive du tenseur de déformation totale ε en une partie élastique ε e et une

partie plastique ε p :

ε  εe  ε p (13)

 La loi élastique exprimant le tenseur de contrainte σ en fonction de la déformation élastique ε e

:

σ  e3 ε e   (14)

Dans le cas de l’élasticité linéaire et isotrope, l’équation (14) sera réduite à la forme
indicielle suivante :

E  e ν 
σ ij  
1 ν 
εij 
1  2ν
  
1
E
 
tr ε e δij   εije  1  ν  σ ij  νtr σ δij  (15)

Avec :

- E est le module d’Young du matériau et ν le coefficient de Poisson.

- σ ij est la ij éme composante du tenseur σ .

- tr  ε e  la trace du tenseur ε e .

- δij le symbole de Kronecker égal à 1 si i  j et 0 sinon.

 Critère de plasticité (appelé aussi fonction de charge) exprimant la relation entre la
contrainte σ , la variable tensorielle d’écrouissage cinématique X et la contrainte seuil

σs :


f  σX  eq
 σs  0 (16)

Dans le cadre de ce module, uniquement l’écrouissage isotrope (représenté par σ s ) sera
étudié (mais il faut savoir la seconde source d’écrouissage qui est l’écrouissage
cinématique). Par conséquent, l’équation (16) sera réduite à l’expression suivante :

 
f  σ
eq
 σ s  σ eq  σ s  0 (17)
 Le calcul de la contrainte équivalente σ eq au sens de von Mises sera détaillé plus loin

dans ce résumé.

 L’expression de la contrainte seuil σ s en fonction de la variable d’écrouissage α :

σ s  e4  α  (18)

Par exemple, pour un écrouissage linéaire, l’équation (18) prend la forme particulière
suivante :

σ s  σ0  Κ α (19)

avec σ 0 est la limite d’élasticité initiale et Κ est un paramètre d’écrouissage.

Nous pouvons également citer la forme la plus générale, où l’écrouissage isotrope est
non linéaire. Dans ce cas, l’équation (18) prend la forme suivante :

σ s  Κ  ε0  α 
n
(20)

avec Κ , ε0 et n sont des paramètres d’écrouissage.

 La variable d’écrouissage α est reliée à la vitesse de la déformation plastique
équivalente εeqp par la relation suivante :

α  εeqp  α   εeqp dt (21)

Le calcul de la vitesse de la déformation plastique équivalente εeqp au sens de von Mises

sera détaillé plus loin dans ce résumé.

 Condition d’évolution plastique exprimant les relations entre la dérivée de la variable
d’écrouissage α et la fonction de charge f (introduite dans l’équation (17)) et de sa
dérivée:

εeqp  0 ; f  0 ; εeqp f  0 ; εeqp f  0 (22)

Cette condition implique qu’il y a déformation plastique ( εeqp  0 ) sauf si f  0 et f  0

. Si εeqp  0 , alors f  0 (et pas forcément strictement négative).

 La contrainte équivalente de von Mises σ eq est définie par l’équation suivante :

...