Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (1/8)
Enoncé

On considère le système linéaire à temps discret (SLID ou filtre numérique H)
caractérisé par l’équation récurrente suivante:
y(n) = ‐ x(n‐1) + x(n) ‐ x(n+1)
1) De quel type de filtre s’agit‐il (RII/ARMA, RII/AR, RIF) ? Quel en est l’ordre ?

2) Déterminer sa réponse impulsionnelle (RI) h(n) et la représenter graphique‐
ment

3) Quelle est la FT H(z) de ce filtre ? Est‐il causal ? Est‐il stable ? Justifier vos
réponses

4) Donner la réponse indicielle d(n) de ce filtre et la représenter graphiquement

5) Déterminer la réponse en fréquence ou gain complexe G(f) de ce filtre; en
déduire son module et son argument . Comment, sans en changer le gain en
amplitude pourrait‐on
amplitude, pourrait on rendre le filtre H causal ? Quelles en seraient alors la RI
et la FT ? Justifier que ce filtre H’ est à phase linéaire …/…
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°223
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (2/8)
Enoncé


6) Déterminer les pulsations réduites fr = f/fe pour lesquelles le gain de H
s’annule et en déduire les fréquences de réjection (en kHz) pour fe = 48 kHz

7) Représenter le module de la réponse en fréquence du filtre H en fonction de
fr sur une p
période,, centrée sur 0,, soit pour
p , < f/f
‐ 0,5 / e < 0,5
,

8) On applique à l’entrée du filtre le signal:
x(n) = A + B sin(π/4 n) + C cos(π/2 n) + D cos(π n)
Montrer que ce signal a une période de 8 échantillons

9) Déterminer l’expression de la réponse y(n) du filtre H à l’excitation x(n)



19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°224
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (3/8)
Corrigé
1) L’équation de récurrence ne comportant pas de partie récursive, il s’agit d’un
filtre RIF.
RIF L’entrée x intervenant par x(n‐1),
x(n 1) x(n),
x(n) x(n+1)
x(n+1), ce filtre RIF a 3
coefficients (respectivement: ‐1; 1; ‐1); il est donc d’ordre 2
2) La RI, qui correspond à l’entrée x(n) = δ(n), a pour expression:
h(n) = ‐ δ(n+1) + δ(n) ‐ δ(n‐1)
h(n)
Soit la séquence: 1
 h(n) = ‐1 pour n = ‐1 et n = 1
 h(n) = 1 pour n = 0 ‐3• ‐2• ‐1 0 1 2• 3• n
 h(n) = 0 pour n ≠ { ‐1;
1; 0; 1 }
‐1
La réponse impulsionnelle de ce filtre est paire
on a donc un RIF à phase linéaire (cf. cours § 9.2)
3) La FT H(z) peut s’obtenir, soit à partir de l’équation récurrente en passant aux
TZ soit en prenant la TZ de la RI h(n):
TZ,
H(z) = TZ [h(n)] = ‐ z + 1 ‐ z‐1
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°225
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (4/8)
Corrigé

3) suite:
Ce filtre n’est clairement pas causal car l’équation récurrente montre que y(n)
dépend de x(n+1); on le voit aussi sur la RI h(n) qui n’est pas nulle pour n < 0
En revanche,, comme tous les RIF,, il est inconditionnellement stable
stable: sa RI h(n)
( )
est en effet toujours finie
4) La réponse indicielle d(n) étant la réponse du filtre à l’entrée échelon unité
causall [u(n)
[ ( ) = 1 pour n ≥ 0 ett u(n)
( ) = 0 pour n < 0]
0], on a:
d(n) = ‐ u(n+1) + u(n) ‐ u(n‐1)
d(n)
Soit la séquence:
 d(n) = 0 pour n ≤ ‐2
 d(n)
( ) = ‐1 p
pour n = ‐1 n
‐3• ‐2• ‐1 0• 1 2 3
 d(n) = 0 pour n = 0
 d(n) = ‐1 pour n ≥ 1 ‐1 …

d(n) = ‐ δ(n+1) + u(n‐1)
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°226
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (5/8)
Corrigé
5) La réponse en fréquence ou gain complexe G(f) du filtre H est ici réelle et
paire
i car il en estt ainsi
i i de
d H(z);
H( ) G(f) estt donnée
d é par:
G(fr) = H[ e2π j fr ] = ‐ e2π j fr + 1 ‐ e‐2π j fr = 1 ‐ 2 cos(2π fr) avec: fr = f/fe

D’où: |G(fr)| = |1 ‐ 2 cos(2π fr)|
Arg G(fr) = 0 si G(fr) > 0
= π si G(fr)
( )<0
Pour rendre le filtre H causal, sans en changer le gain en amplitude, il faut
retarder sa RI h(n) d’un échantillon (remplacer n par n‐1, c’est‐à‐dire appliquer
une translation temporelle de Te); il en résulte en effet sur la FT H(z) une mul‐
tiplication par z‐1 (cf. propriétés de la TZ § 7.8), donc sur G(f) une multiplication
par e‐2π j fr . On a donc:
p
h’(n) = h(n‐1) et H’(z) = H(z) e‐2π j fr = e‐2π j fr [1 ‐ 2 cos(2π fr)]
Lee filtree H’ a un
u déphasage
dép asage Φ(
Φ(fr)) = ‐ 2π fr ; il est
es à p
phase
ase linéaire;
éa e; sa RI h’(n)
( ) est
es
bien causale et symétrique (par rapport à l’axe n = 1; cf. cours § 9.2)
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°227
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (6/8)
Corrigé
6) On a: |G(fr)| = 0 lorsque: 1 ‐ 2 cos(2π fr) = 0 → cos(2π fr) = 0,5 , soit:
2 fr    / 3  2k  fr   1 / 6  k (k  Z )
Pour fe = 48 kHz : f   f e / 6  k f e   8 kHz  k  48 kHz
Dans l’intervalle ‐0,5 ≤ fr < 0,5 , qui correspond à une période de la FT, on a
donc les 2 fréquences réduites de réjection:
frG 0  1 / 6   0,17
7) Soit à tracer: |G(fr)| = |1 ‐ 2 cos(2π fr)| pour ‐ 0,5 < fr ≤ 0,5 (une période)
Le graphe étant symétrique par rapport à l’axe des amplitudes, on se limitera
à 0 ≤ fr ≤ 0,5 . On obtient ainsi le tableau de valeurs ci‐dessous:
f
fr 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/3 3/8 5/12 0,5
05
2π fr 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
|G(fr
|G( fr)|
)| 1 0 73 0,41
0,73 0 41 0 1 2 1 41 1,73
1,41 1 73 3

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°228
 Exercice 2 ** : analyse d’un filtre RIF (7/8)
Corrigé
En utilisant les points du tableau précédent, on obtient le graphe du gain:
|G(fr
|G( fr)|
)| = |1 ‐ 2 cos(2π
cos(2π fr
fr)|
)|
3‐ x
x
...