Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (1/6) Enoncé /questions
On considère 6 filtres numériques définis chacun par l’une des 3
caractéristiques
té i ti suivantes
i t :
Equation de récurrence liant sortie y(n) et entrée x(n)
Réponse impulsionnelle, h(n)
Fonction de transfert (FT), H(z) et domaine de convergence associé
F1 F2 F3 F4 F5 F6
H(z) = h(‐1)=1; h(0)=‐
h(‐ h(0)=‐1 H ( z)  H ( z) 
n y(n) =
y (n)   x(k ) x(n) ‐ x(n 1 ‐ 2z‐1 + z‐2 h(n)=0 si n <‐
< ‐ 1 0,81  0,9 z 1  z 2 1
k  
x(n‐‐1)
z≠0 ou n > 0 1  0,9 z 1  0,81z 2 1  az 1 1  bz 1 
avec a ; b  e  j / 4

On demande de préciser certaines autres caractéristiques
notamment parmi les 3 déjà citées et parmi les suivantes:
Type : RII / AR ou RII / ARMA ou RIF et ordre
Causalité (oui ou non, avec justificatif sommaire) et/ou stabilité EBSB
Pôles et/ou zéros
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°172
 Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (2/6) Enoncé /questions
Filtres F1 et F2: Filtre F4:
a) h(n) a) H(z)
b) H(z) b) Type et ordre
c) Type et ordre c) Causalité et stabilité
d) Causalité et stabilité d) Relation de récurrence
Filtre F5:
Filtre F3: a) Type et ordre
a) Type et ordre b) Ce filtre assure une fonction
b) h(n) particulière. Laquelle ?
c) Equation de récurrence Filtre F6:
d) Comment peut‐on réaliser ce a) Type et ordre
filtre à partir de F2 ?
b) H(z)=N(z)/D(z)
c)) Pôles
Pôl ett zéros
é

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°173
 Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (3/6) Corrigé
Filtre F1: n
a) h(n)    (k )  1 si n  0 et 0 si n  0  h(n)  u (n)
k  

1 z
b) H ( z )  TZ u (n)   pour z  1
1  z 1 z  1

c) Filtre RII/AR d’ordre
d ordre 1

d)) Filtre causal [ h(n)=0
( ) pour
p n < 0 ] et instable [ ∑|h(n)|
∑| ( )| ∞ ]


Filtre F2:
a) h(0) = δ(0) ‐ δ(1) = 1‐0 = 1
h(1) = δ(1) ‐ δ(0) = 0‐1 = ‐1 ou h(n)=δ(n)‐δ(n‐1)
h(n) = 0 si n<0 ou n>1

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°174
 Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (4/6) Corrigé
Filtre F2 (suite):
b) H(z) = TZ[h(n)] = h(0).z0+h(1).z‐1 =1 ‐ z‐1 avec D=C
c) Filtre RIF d’ordre 1 [car h(n) a 2 éléments]
d) Filtre
Filt causall [car
[ y(n)
( ) ne dépend
dé d que de
d x(p)
( ) pour p ≤ n]] ett stable
t bl (RIF)
Filtre F3:
d ordre 2 [ car H(z) est un polynôme en z‐11 de de degré 2]
a) Filtre RIF d’ordre
b) Pour un filtre RIF, h(n) = an , coeff de z‐n dans le polynôme H(z) ordonné
selon les puissances croissantes de z‐1 , soit ici: h(0)=1; h(1)=‐2; h(2)=1;
h(n)=0 pour n <0 et n > 2
c) Y(z) = X(z) [1‐2z‐1+z‐2] → y(n) = x(n) ‐ 2 x(n‐1) + x(n‐2)
d) H3(z) [1 ‐11]² = [H2(z)]²
( ) = [1‐z ( )]² → F3 résulte
é lt d de la
l mise
i en cascade
d ded 2 filtres
filt F2
Filtre F4:
h( 1) z1+h(0) z0 = zz‐1
a) H(z) = TZ[h(n)] = h(‐1) 1 avec D = C

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°175
 Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (5/6) Corrigé
Filtre F4 (suite):
b) Filtre RIF d’ordre 1 [car h(n) est de longueur 2]
c) Filtre non causal car h(‐1) ≠ 0; ce filtre est même an ‐causal
d) Y(z)
Y( ) = H(
H(z)) X(z)
X( ) = (z‐1)
( 1) X(
X(z)) = ‐ X(z)
X( ) + z X(z)
X( ) → y(n)
( ) = ‐ x(n)
( ) ‐ n x(n)
( )
soit: y(n) = ‐ (n+1) x(n)
Filtre F5:
a) Filtre RII/ARMA d’ordre 2 [car N(z) ≠ 1 et D(z) de degré 2]
b) N(z) et D(z) sont à coefficients image: N(z) = z‐2 D(z); F5 est donc une
cellule RII du 2ème ordre de type « déphaseur pur » ou « passe‐tout »
Filtre F6:
a)) Fil
Filtre RII/AR d’
d’ordre
d 2 (ou
( AR2);
AR2) ce type est étudié
é dié en cours (§ 8.3)
8 3)

1 j  j 2
b) H ( z )  avec a  b  e  e  2 cos   2 et ab  a 1
1  (a  b) z 1  abz 2
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°176
 Exercice 7* : caractérisation de 6 filtres
numériques simples (6/6) Corrigé


Filtre F6 (suite):

1 z²
b) suite  H ( z)  
1  2 . z 1  z 2 z ²  2 . z  1

c) Pôles et zéros: ce sont ceux de H(z), d’où:
Un zéro double: z = 0
 j / 4 2
D
Deux pôles
ôl complexesl conjugués:
j é p 1; 2  a ; b  e  (1  j )
2




19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°177
 Exercice 8 ** : analyse de 7 filtres définis
par leur équation récurrente (1/6) Enoncé
On considère les 7 traitements numériques d’algorithmes suivants:
a) y(n) = 1/2 [x(n) + x(n‐1)] b) y(n) = 1/2 [x(n) + y(n‐1)] c) y(n) = x(n) + 1/2 x(n‐1)
d) y(n) = 1/2 [x(n+1) + x(n‐1)] e) y(n) = x(n) ‐ x(n‐2) + y(n‐1)
f) y(n) = x(n) +2 y(n‐1) g) y(n) = x(n‐2) + y(n‐2)

1) Calculer, pour chaque filtre, les termes de la réponse impulsionnelle (RI) h(n)
pour n variant de ‐2 à 10
2) Donner, pour chaque filtre, sa FT en z H(z) et indiquer ses caractéristiques
mises en évidence par sa RI, son équation récurrente (et/ou sa FT): type de
filtre numérique (RII/AR, RII/ARMA, RIF), ordre, causalité, stabilité
3) Pour l...