π
<-
Chat plein-écran
[^]

chap-05-evn-de-dimension-finie


Hierarchy of files

 Downloads
 Files created online(19367)
 TI-Nspire
(15511)

 mViewer GX Creator Lua(10088)

DownloadTélécharger


LicenceLicense : Non spécifiée / IncluseUnspecified / Included

 TéléchargerDownload

Actions



Vote :

ScreenshotAperçu


Tester en ligne !

Informations

Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: mira314
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 67
Taille Size: 1.79 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 02/07/2020 - 06:23:41
Uploadeur Uploader: mira314 (Profil)
Téléchargements Downloads: 4
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2634493

Description 

Chapitre 5.
Espaces vectoriels normés de dimension finie

Jean-Michel Ferrard


www.mathprepa.fr




c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 1 / 67
Table des matières du chapitre 5


Table des matières du chapitre 5




5.1. Norme, distance, parties bornées
5.2. Suites d’un espace vectoriel normé
5.3. Topologie, limites, continuité




c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 2 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées


5.1. Norme, distance, parties bornées




5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
5.1.2. Distance associée, boules et sphères
5.1.3. Parties convexes d’un espace vectoriel normé
5.1.4. Parties bornées d’un espace vectoriel normé




c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 3 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Définition (norme sur un K-espace vectoriel)
Soit E un espace vectoriel sur K (avec K = R ou K = C).
On dit que N : E → R est une norme sur E si :
• ∀ x ∈ E, N (x) ≥ 0, avec : ( N (x) = 0 ⇔ x = 0 )
• ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ K, N (λx) = |λ|N (x)
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , N (x + y) ≤ N (x) + N (y) (inégalité triangulaire)

On note en général kxk plutôt que N (x).
On dit que E, muni de x 7→ kxk, est un espace vectoriel normé.



c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 4 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Normes usuelles sur Kp
En notant x = (x1 , x2 , . . . , xp ) un vecteur quelconque Kp .
On définit trois normes usuelles sur Kp :
La  norme indice 1  :
p
X
kxk1 = |xi | = |x1 | + |x2 | + · · · + |xp |
i=1

La  norme indice 2 , ou  norme euclidienne  :
X p 1/2 q
2
kxk2 = |xi | = |x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xp |2
i=1

La  norme infini  :
kxk∞ = max |xi | = max {|x1 | , |x2 | , . . . , |xp |}
1≤i≤p


c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 5 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Remarques diverses
Les définitions précédentes s’étendent à un K-espace vectoriel E de dimension
n muni d’une base B.
Soit E préhilbertien réel (pas nécessairement de dim. finie).
La norme  déduite du produit scalaire  est définie par :
p
∀ x ∈ E, kxk = (x | x)
Dans un espace vectoriel normé E, on a la double inégalité :
kxk − kyk ≤ kx ± yk ≤ kxk + kyk
Soit E un espace vectoriel normé non réduit à {0}.
x
Les vecteurs , (x 6= 0) sont unitaires, càd de norme 1.
kxk
x
Les vecteurs r , (x 6= 0, r > 0) sont de norme r > 0.
kxk
c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 6 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé

Remarque sur le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire
Soit E euclidien, et x 7→ kxk la norme associée au produit scalaire.
On sait que kx + yk = kxk + kyk ⇔ x et y sont positivement liés.
Ce n’est plus vrai pour une norme quelconque.
Prenons deux exemples :
si x = (1, 0) et y = (0, 1) dans (R2 , k k1 ) .
On a kxk1 = kyk1 = 1 et kx + yk1 = 2 = kxk1 + kyk1 .
si x = (1, 0) et y = (1, 1) dans (R2 , k k∞ ).
On a kxk∞ = kyk∞ = 1 et kx + yk∞ = 2 = kxk∞ + kyk∞ .



c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 7 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Exercice
Soit E un espace vectoriel normé.
Soit x, y, z, t quatre vecteurs de E. Montrer que :
kx − tk + ky − zk ≤ kx − yk + ky − tk + kt − zk + kz − xk

Exercice
Pour tout u = (x, y) ∈ R2 , on pose N (u) = sup |x + ty|.
0≤t≤1
Montrer que N : R2 → R est une norme.
Représenter la boule unité fermée de centre 0.



c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 8 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Normes usuelles sur Mn,p (K)
Première idée : identifier A = (ai , j) ∈ Mn,p (K) avec un élément de Knp et à
utiliser l’une des trois normes  usuelles  sur Knp .
P
La  norme indice 1  : kAk1 = |ai,j |
i,j
la  norme infini  : kAk∞ = max |ai,j |.
i,j
P 1/2
La norme de Frobenius (ou de Schur) : kAkf = a2i,j
1/2 i,j
On vérifie que kAkf = tr(At A) .
Exercice
 1/2
On munit Mn (R) de la norme de Schur : kAkf = tr(At A) .
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (R)2 : kABkf ≤ kAkf kBkf .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.
c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 9 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé

Exercice
On munit Mn (K) de la norme définie par : kAk∞ = max |ai,j |.
i,j
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (K), kABk∞ ≤ n kAk∞ kBk∞ .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.

Exercice
n
On munit Mn (K) de la norme définie par : kAk1 =
P
|ai,j |.
i,j=1
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (K), kABk1 ≤ kAk1 kBk1 .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.


c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 10 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Exercice (deux normes sur Mn,p (K))
Pour toute matrice A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K), on pose :
P n  n
P 
N1 (A) = max |ai,j | N∞ (A) = max |ai,j |
1≤j≤p i=1 1≤i≤n j=1


1 Montrer que N1 est une norme ( norme de colonne ).
2 Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn,p (K)2 , N1 (AB) ≤ N1 (A)N1 (B).
3 Montrer que N∞ est une norme ( norme de ligne ).
4 Mq : ∀ (A, B) ∈ Mn,p (K)2 , N∞ (AB) ≤ N∞ (A)N∞ (B).



c Jean-Michel Ferrard Chapitre 5 : Espaces vectoriel normés www.mathprepa.fr 11 / 67
5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.2. Distance associée, boules et sphères


5.1.2. Distance associée, boules et sphères

Définition (distance associée à une norme)
Soit E un espace vectoriel normé.
Pour tous vecteurs x, y de E on pose d(x, y) = ky − xk.
C’est une  distance  sur E car elle vérifie les propriétés :
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , d(x, y) ≥ 0 avec : d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
2
• ∀ (x, y) ∈ E , d(x, y) = d(y, x).
• ∀ (x, y) ∈ E 3 , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire)
On l’appelle distance induite par la norme x 7→ kxk sur E.

Pour tous x, y, z de E, on a : |d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z).
La distance d est invariante par translation :
...

Archive contentsContenu de l'archive

Action(s) SizeTaille FileFichier
1.64 Ko KB readme.txt
291.88 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/31-40.tns
303.29 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/51-60.tns
251.45 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/01-10.tns
306.46 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/11-20.tns
226.98 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/61-67.tns
282.81 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/21-30.tns
325.64 Ko KB chap_05_evn_de_dimension_finie/41-50.tns

Pub / Ads

-
Search
-
Featured topics
L'OS 5.5 de la TI-83 Premium CE / 84 Plus CE supprime l'assembleur - la plupart des jeux et certains programme ne fonctionneront plus
Omega, le fork étendant les capacités de ta NumWorks, même en mode examen !
Découvre les nouvelles fonctionnalités en Python de l'OS 5.5 pour la 83PCE/84+C-T Python Edition
Comparaisons des meilleurs prix pour acheter sa calculatrice !
1234
-
Donations / Premium
For more contests, prizes, reviews, helping us pay the server and domains...

Discover the the advantages of a donor account !
JoinRejoignez the donors and/or premium!les donateurs et/ou premium !


Partner and ad
Notre partenaire Jarrety Calculatrices à acheter chez Calcuso
-
Stats.
687 utilisateurs:
>668 invités
>13 membres
>6 robots
Record simultané (sur 6 mois):
6892 utilisateurs (le 07/06/2017)
-
Other interesting websites
Texas Instruments Education
Global | France
 (English / Français)
Banque de programmes TI
ticalc.org
 (English)
La communauté TI-82
tout82.free.fr
 (Français)