Chapitre 5.
Espaces vectoriels normés de dimension finie

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 5


Table des matières du chapitre 5




5.1. Norme, distance, parties bornées
5.2. Suites d’un espace vectoriel normé
5.3. Topologie, limites, continuité




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5.1. Norme, distance, parties bornées




5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
5.1.2. Distance associée, boules et sphères
5.1.3. Parties convexes d’un espace vectoriel normé
5.1.4. Parties bornées d’un espace vectoriel normé




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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Définition (norme sur un K-espace vectoriel)
Soit E un espace vectoriel sur K (avec K = R ou K = C).
On dit que N : E → R est une norme sur E si :
• ∀ x ∈ E, N (x) ≥ 0, avec : ( N (x) = 0 ⇔ x = 0 )
• ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ K, N (λx) = |λ|N (x)
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , N (x + y) ≤ N (x) + N (y) (inégalité triangulaire)

On note en général kxk plutôt que N (x).
On dit que E, muni de x 7→ kxk, est un espace vectoriel normé.



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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Normes usuelles sur Kp
En notant x = (x1 , x2 , . . . , xp ) un vecteur quelconque Kp .
On définit trois normes usuelles sur Kp :
La  norme indice 1  :
p
X
kxk1 = |xi | = |x1 | + |x2 | + · · · + |xp |
i=1

La  norme indice 2 , ou  norme euclidienne  :
X p 1/2 q
2
kxk2 = |xi | = |x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xp |2
i=1

La  norme infini  :
kxk∞ = max |xi | = max {|x1 | , |x2 | , . . . , |xp |}
1≤i≤p


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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Remarques diverses
Les définitions précédentes s’étendent à un K-espace vectoriel E de dimension
n muni d’une base B.
Soit E préhilbertien réel (pas nécessairement de dim. finie).
La norme  déduite du produit scalaire  est définie par :
p
∀ x ∈ E, kxk = (x | x)
Dans un espace vectoriel normé E, on a la double inégalité :
kxk − kyk ≤ kx ± yk ≤ kxk + kyk
Soit E un espace vectoriel normé non réduit à {0}.
x
Les vecteurs , (x 6= 0) sont unitaires, càd de norme 1.
kxk
x
Les vecteurs r , (x 6= 0, r > 0) sont de norme r > 0.
kxk
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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé

Remarque sur le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire
Soit E euclidien, et x 7→ kxk la norme associée au produit scalaire.
On sait que kx + yk = kxk + kyk ⇔ x et y sont positivement liés.
Ce n’est plus vrai pour une norme quelconque.
Prenons deux exemples :
si x = (1, 0) et y = (0, 1) dans (R2 , k k1 ) .
On a kxk1 = kyk1 = 1 et kx + yk1 = 2 = kxk1 + kyk1 .
si x = (1, 0) et y = (1, 1) dans (R2 , k k∞ ).
On a kxk∞ = kyk∞ = 1 et kx + yk∞ = 2 = kxk∞ + kyk∞ .



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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Exercice
Soit E un espace vectoriel normé.
Soit x, y, z, t quatre vecteurs de E. Montrer que :
kx − tk + ky − zk ≤ kx − yk + ky − tk + kt − zk + kz − xk

Exercice
Pour tout u = (x, y) ∈ R2 , on pose N (u) = sup |x + ty|.
0≤t≤1
Montrer que N : R2 → R est une norme.
Représenter la boule unité fermée de centre 0.



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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé
Normes usuelles sur Mn,p (K)
Première idée : identifier A = (ai , j) ∈ Mn,p (K) avec un élément de Knp et à
utiliser l’une des trois normes  usuelles  sur Knp .
P
La  norme indice 1  : kAk1 = |ai,j |
i,j
la  norme infini  : kAk∞ = max |ai,j |.
i,j
P 1/2
La norme de Frobenius (ou de Schur) : kAkf = a2i,j

1/2 i,j
On vérifie que kAkf = tr(At A) .
Exercice
 1/2
On munit Mn (R) de la norme de Schur : kAkf = tr(At A) .
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (R)2 : kABkf ≤ kAkf kBkf .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.
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5.1.1. Norme, espace vectoriel normé

Exercice
On munit Mn (K) de la norme définie par : kAk∞ = max |ai,j |.
i,j
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (K), kABk∞ ≤ n kAk∞ kBk∞ .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.

Exercice
n
On munit Mn (K) de la norme définie par : kAk1 =
P
|ai,j |.
i,j=1
Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn (K), kABk1 ≤ kAk1 kBk1 .
Montrer que ce résultat n’est pas améliorable de façon générale.


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 5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


5.1.1. Norme, espace vectoriel normé


Exercice (deux normes sur Mn,p (K))
Pour toute matrice A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K), on pose :
P n  n
P 
N1 (A) = max |ai,j | N∞ (A) = max |ai,j |
1≤j≤p i=1 1≤i≤n j=1


1 Montrer que N1 est une norme ( norme de colonne ).
2 Montrer que : ∀ (A, B) ∈ Mn,p (K)2 , N1 (AB) ≤ N1 (A)N1 (B).
3 Montrer que N∞ est une norme ( norme de ligne ).
4 Mq : ∀ (A, B) ∈ Mn,p (K)2 , N∞ (AB) ≤ N∞ (A)N∞ (B).



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 5.1. Norme, distance, parties bornées 5.1.2. Distance associée, boules et sphères


5.1.2. Distance associée, boules et sphères

Définition (distance associée à une norme)
Soit E un espace vectoriel normé.
Pour tous vecteurs x, y de E on pose d(x, y) = ky − xk.
C’est une  distance  sur E car elle vérifie les propriétés :
• ∀ (x, y) ∈ E 2 , d(x, y) ≥ 0 avec : d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
2
• ∀ (x, y) ∈ E , d(x, y) = d(y, x).
• ∀ (x, y) ∈ E 3 , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire)
On l’appelle distance induite par la norme x 7→ kxk sur E.

Pour tous x, y, z de E, on a : |d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z).
La distance d est invariante par translation :
...