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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: thancrow
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 3
Taille Size: 215.22 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 14/01/2020 - 17:51:26
Mis à jour Updated: 14/01/2020 - 17:51:51
Uploadeur Uploader: thancrow (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2548086

Description 

BTS Sainte-Marie Saint-Louis



Correction du DM – Série de Fourier :

M.FROMAGET
Exercice :
On considère la fonction f définie sur IR, 2-périodique et telle que :

 f(t) =  – t si 0 ≤ t < 
 
 f(t) = 2 si  ≤ t < 2

1) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle : [–4 ; 4]

● ●  ● ●



● ●  ● ●
2


–4 O  2 4



2) Conditions de Dirichlet :

f est continue et dérivable sur ]0 ; [ et sur ] ; 2[. Sa limite à gauche de  est 0, la limite à droite de  est ,
2
La limite à droite de 0 est , la limite à gauche de 2 est .
Sur ]0 ; [, f ’(t) = –1 et sur ] ; 2[, f ’(t) = 0
f ’ est continue sur ]0 ; [ et sur ] ; 2[, Sa limite à gauche de  est –1, la limite à droite de  est 0, La limite à
droite de 0 est –1, la limite à gauche de 2 est 0.
Ainsi f est C1 par morceaux (c'est-à-dire que sur tout intervalle de longueur égale à sa période sauf en un
nombre fini de points, f est continue, dérivable, de dérivée continue et f et f ’ admettent des limites finies à
droite et à gauche aux points de discontinuité), elle vérifie donc les conditions de Dirichlet

3) a. Calculer a0 , la valeur moyenne de la fonction f sur une période.
1  2|
a0 =  f(t) dt
2 0 |
1   |  2|  
=   ( – t) dt +  2 dt 
2 0 |  | 

1 | t2 |  
2
=  t –  +  t 
2 | 2 0 |2  
1 2 2
= 2 – + 2 – 
2 2 2
1 2
= 
2

=
2
2 72
b. Montrer que f eff , la moyenne du carré de f sur une période est égale à .
24
2
f eff = < f 2(t) >
1  2| 2
=  f (t) dt
2 0 |
1   | 
2
 2| 
 
2
=   ( – t) dt +  dt 
2 0 |  | 2 
1   | 2 
2
 2| 
 ( – 2t + t ) dt +  2  dt 
2
= 
2 0 |  |   

1 | 2 t3 |  
2 2
=    t – t +  +    t 
2
2 | 3 0 |2   
1  3 3
3 3
 –  + – 0 + – 
3
=
2  3 2 4
3 3 3
1 4 6 3 
=  + – 
2  12 12 12 
1 73
= ×
2 12
72
=
24

4) On veut Déterminer à l’aide d’un logiciel de calcul formel les coefficients de Fourier an et bn pour n ≥1.
a. Quelles instructions doit-on rentrer sur Xcas, pour obtenir ces coefficients ?
Pour obtenir an , on peut rentrer :
● 2/(2*pi)*(integrate((pi-t)*cos(n*t),t,0,pi)+integrate((pi/2)*cos(n*t),t,pi,2*pi))
ou
● fourier_an((pi-t)*Heaviside(t)*Heaviside(pi-t)+pi/2*Heaviside(t)*Heaviside(t-pi),t,2*pi,n,0)

Pour obtenir bn , on peut rentrer :
● 2/(2*pi)*(integrate((pi-t)*sin(n*t),t,0,pi)+integrate((pi/2)*sin(n*t),t,pi,2*pi))
ou
● fourier_bn((pi-t)*Heaviside(t)*Heaviside(pi-t)+pi/2*Heaviside(t)*Heaviside(t-pi),t,2*pi,n,0)

b. Coefficients de Fourier an et bn pour n ≥1, obtenus à l’aide de Xcas :
-n*pi*sin(n*pi)+n*pi*sin(2*n*pi)-2*cos(n*pi)+2
● Pour an , Xcas donne :
2*n2*pi
– cos(n) + 1
Comme sin(n) = 0 pour tout entier n, on obtient an =
n2

2*n*pi+n*pi*cos(n*pi)-n*pi*cos(2*n*pi)-2*sin(n*pi)
● Pour bn , Xcas donne :
2*n2*pi
Comme pour tout entier naturel n, sin(n) = 0 et cos (2n) = 1, on obtient :
2n + n cos(n) – n n + n cos(n) 1 + cos(n)
bn = = =
2n2 2n2 2n
5) a. Déduire de la question précédente la série de Fourier associée à f :
 2 2
sf(t) = a0 + (an cos(nt) + bn sin(nt) ) avec  = = =1
n=1
T 2
  – cos(n) + 1 1 + cos(n) 
= +  cos(nt) + sin(nt)
2 n = 1 n
2
2n 
  – (–1) + 1
n n
= +   sin(nt)
1 + (–1)
cos(nt) +
2 n = 1 n2 2n 
b. Calculer le fondamental et les harmoniques jusqu’au rang n = 5.
 2 0 0 2 2 0 0 2
sf5(t) = + cos(t) + sin(t) + cos(2t) + sin(2t) + cos(3t) + sin(3t) + sin(4t) + sin (4t) + …
2  2 4 4 9 6 16 8
2 0
+ cos(5t) + sin(5t)
25 10
 2 1 2 1 2
= + cos(t) + sin(2t) + cos(3t) + sin (4t) + cos(5t)
2  2 9 4 25

c. Représentation…

6) a. Déterminer la valeur efficace S5eff de ce signal sur une période en utilisant la formule de Parseval :
f étant C1 par morceaux et périodique de période 2, on a d’après la Formule de Parseval :
+T
1 | 1 +
f2 =  f 2(t) dt = a02 +  (an2 + bn2)
eff T  | 2
n=1
1 5 2 1 2 2
(an2 + bn2) =   +    +   +   +   + 
12 2 2 12 2 2 
D’où : S5eff = a02 +   2 2  2 4
   2 ,82912
2
n=1 9 25 
2
S5eff
b. En déduire le rapport : 2 à 10–3 près.
f eff
2 2 2 2 2
 2 + 1 +  2  + 1 +  2  
2   2   4   
S5eff     9   25 
=  0,983
2
f eff 72
24
 
c. Calculer à 10–3 près : f   – sf5 .
 
4  4
    2  1 ...

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