Sciences Physiques - Chimie MPSI
Partie 4 : Mécanique 1 - Ch.3 : Énergétique du point


Ch.3 Énergétique du point
Une autre manière d'aborder un problème de mécanique
Nous avons vu dans le chapitre précédent la méthode à suivre face à un problème de
mécanique : définir système, référentiel, repère, bilan de forces puis appliquer une loi de la
mécanique, à savoir le PFD.
Dans certains cas, il est plus simple de raisonner en termes énergétiques. C'est ce que nous
allons apprendre ici.

I. Travail et puissance d'une force

I.1. Travail d'une force
a. Définition du travail élémentaire
Soit un point M animé d'une vitesse ⃗v (t ) dans un référentiel
galiléen et soumis à une force ⃗ f (t) (figure 1).
Figure 1 : trajectoire
quelconque d'un point M

Entre l'instant t et l'instant t+dt, le point M se déplace d'un déplacement élémentaire : ⃗ dl=⃗v dt .
Rappel : En coordonnées cartésiennes : dl=dx ⃗ ⃗ u x +dy ⃗
u y +dz ⃗
uz
Lorsque le point se déplace de ⃗ dl le travail élémentaire de la force ⃗
f sur le point M
est défini par : δ W ( ⃗f )=⃗f .⃗
dl

• Si ⃗f est « tournée du même côté que ⃗ dl », ⃗f favorise le mouvement, alors
⃗ ⃗
δ W = f . dl>0 : le travail est dit moteur.
• Si ⃗f est « tournée du côté opposé à ⃗ dl », ⃗f s'oppose au mouvement, alors
⃗ ⃗
δ W = f . dl<0 : le travail est dit résistant.
• Si ⃗f est orthogonale à ⃗ dl : δ W =⃗f . ⃗ dl=0 : la force ne travaille pas.

Dans quel autre cas peut-on dire que la force ne travaille pas ?
Si l'objet ne se déplace pas : ⃗
dl= ⃗0 donc δ W =0 : la force ne travaille pas.

Remarque : ⃗ dl est un déplacement élémentaire, pris arbitrairement proche de zéro, ce qui permet
de réaliser des développements limités, des dérivations ou des intégrations.

b. Travail d'une force
Lorsque le point M se déplace de A à B (voir figure 1), il effectue une infinité de déplacement
B
AB=∫ ⃗
élémentaire, ce qui se traduit mathématiquement par : ⃗ dl
A

Le travail de la force ⃗
f appliquée tout le long du déplacement ⃗
AB vaut alors :
B B
W AB ( ⃗
f )=∫ δW =∫ ⃗f . ⃗
dl
A A




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Partie 4 : Mécanique 1 - Ch.3 : Énergétique du point

c. Travail d'une force constante
Déterminer le travail d'une force ⃗
f constante tout le long du trajet de A à B.
B B B
W AB ( ⃗
f )=∫ δW =∫ ⃗f . ⃗
dl =⃗f .∫ ⃗
dl =⃗
f .⃗
AB
A A A
Dans ce cas le travail est indépendant du chemin suivi pour aller de A à B. Il dépend seulement
des points A et B.


Exemples (important) :
B
• Travail du poids
Déterminer le travail du poids pour un point M se déplaçant de A à g
B (figure 2) dans un champ de pesanteur uniforme ⃗ g . L'axe
u z est orienté vers le haut et les points A et B ont pour
⃗
coordonnées A( x A , y A , z A ) et B( x B , y B , z B ) .
B A
W AB ( ⃗ P .⃗
P )=∫ ⃗ dl or ⃗
P =−m g ⃗
uz
A
B

Donc : W AB ( ⃗ uz . ⃗
P )=−m g ∫ ⃗ dl
A Figure 2 : travail du poids lors
u z. ⃗
⃗ dl=coordonnées de dl sur u z=dz d'un déplacement de A à B
zB
zB
Alors : W AB ( ⃗
P )=−m g ∫ dz =−mg [ z ] z A
=mg z A−mg z B
zA



• Travail de la réaction normale
Soit un système se déplaçant sur un support (figure 3).
Déterminer le travail de la réaction normale du support au cours
support
du déplacement du système.
La réaction normale est en permanence orthogonale à la Figure 3 : système se déplaçant
trajectoire, donc au déplacement élémentaire. Ainsi : sur un support
B

RN . ⃗
δ W =⃗ R N )=∫ δ W =0
dl=0 et W AB (⃗
A


I.2. Puissance d'une force
δ W ( ⃗f ) ⃗ ⃗ dl
La puissance d'une force à l'instant t est définie par : P (t)= = f . =⃗f . ⃗v
dt dt

Remarques :
• On peut voir que le travail de la force lors d'un trajet de A à B revient à intégrer la puissance
B tB

entre tA et tB : W AB ( ⃗
f )=∫ δW =∫ P(t )dt
A tA

• Puisque la vitesse dépend du référentiel dans lequel on se place (typiquement si on choisit le
référentiel du système en mouvement alors la vitesse de ce système dans le référentiel est
nulle), alors la puissance dépend aussi du référentiel.


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II. Théorèmes de la puissance cinétique et de l'énergie cinétique
Rappel : l'énergie cinétique d'un système associé à un point matériel de masse m en mouvement à la
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vitesse v⃗ est donnée par : E c = m v
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• Théorème de l'énergie cinétique :
Soit un point matériel de masse m (constante) en mouvement à la vitesse ⃗v et soumis à des forces
extérieures ⃗ F ext .
Dans un référentiel galiléen, si ce système se déplace d'un point A vers un point B, on peut écrire :
Δ E c =E c ( t B )−E c (t A )= ∑ W AB (⃗
F ext )
forces



• Théorème de la puissance cinétique :
Soit un point matériel de masse m (constante) en mouvement à la vitesse ⃗v et soumis à des forces
extérieures ⃗F ext .
d Ec
Dans un référentiel galiléen, à chaque instant t, on peut écrire : = ∑ P ext
dt forces


Les 2 théorèmes découlent directement du PFD. Nous allons ici les démontrer.
d ⃗v d (v 2 /2)
Pour les montrer, il faut rapidement revoir que : ⃗v . =
dt dt
2
d (v ) d (⃗v . ⃗v ) dv dv dv
Démo préliminaire : = = ⃗v . ⃗ + ⃗ . ⃗v =2 ⃗v . ⃗
dt dt dt dt dt

Démo des 2 théorèmes :
Soit un point matériel de masse m constante en mouvement à la vitesse v⃗ dans un référentiel
galiléen. Ce point est soumis à des forces extérieures : ⃗ F ext .
...