Sciences Physiques - Chimie MPSI
Partie 5 : Mécanique 2 - Ch.3 : Introduction à la mécanique des systèmes


Ch.3 Introduction à la mécanique des systèmes
Cas particulier du solide en rotation autour d'un axe fixe

Dans ce chapitre, nous allons étendre les résultats de dynamique et d'énergétique pour un point
matériel à des systèmes formés d'un nombre quelconque de points.
Dans la première partie, le système peut être déformable ou indéformable (solide).
Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons plus particulièrement au solide en rotation autour
d'un axe fixe.

I. Lois de la mécanique pour un système de points

I.1. Définition du centre d'inertie
Mi
M2 G Prenons un système décrit par un ensemble de points M i de
M1 masse mi (figure 1 - exemple : ballon rempli de grains de
M3 sable, ou atomes composant un solide).
Par définition, le centre d'inertie G du système est tel que :
∑ mi⃗ G M i= ⃗0
i

Figure 1 : Système de points Soit O, origine du repère, montrer que :
⃗ 1
OG= ∑ mi⃗ O Mi
m i
⃗ ⃗ ⃗
On peut écrire : ∑ mi ( G O+O M i )=0
i
1
Donc le centre d'inertie G est tel que : ⃗
OG= ∑ mi⃗
O Mi
m i
avec m=∑ m i : masse du système
i


Remarque : le centre d'inertie d'un système de points est aussi appelé barycentre ou centre de masse.

I.2. Notion de forces intérieures
Pour un système de points, il existe des forces entre les points,
Mi intérieures au système. Notons ⃗ F int la résultante des forces
Mj intérieures. Soit un point Mi, notons ⃗ f j /i la force exercée par un
point Mj sur le point Mi (figure 2).

Figure 2 : Système de • Donner l'expression de ⃗
F int . Conclure sur sa valeur.
points et forces intérieures
L'ensemble des forces exercées sur le point Mi va s'écrire : ∑⃗
f j /i
j≠i
La résultant des forces intérieures est alors la somme de la force précédente sur tous les points M i,
⃗
et elle s'écrit : F int =∑ ∑ f j /i
⃗
i j≠i
Or, d'après la 3éme loi de Newton, on a : ⃗ f i / j =−⃗
f j/i
Tous les termes de F int s'annulent 2 à 2, donc on a : ⃗
⃗ F int =⃗0




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I.3. Loi de la quantité de mouvement
p=∑ ⃗
La quantité de mouvement d'un système de points est définie par : ⃗ pi=∑ mi v⃗i
i i

On a déjà montré que : ⃗ p=m ⃗ v G : la quantité de mouvement d'un système s’identifie à celle de G
affecté de la masse totale du système.
• Loi de la quantité de mouvement (extension du PFD pour un système de points) :
Dans un référentiel galiléen, pour un système fermé de masse totale m, la quantité de mvt du
d ⃗p
système vérifie : aG = ∑ ⃗
=m ⃗ F ext
dt forces ext


• Démonstration de la loi de la qté de mvt :
d⃗pi
D'après le PFD, on peut écrire pour un point Mi du système : = ∑ ⃗ F + ∑ ⃗ F
dt forces ext ext / i forces int int/i
Or : ⃗p=∑ ⃗ pi donc d ⃗p =∑ d ⃗ pi
=∑ ∑ ⃗ F ext /i +∑ ∑ ⃗ F int /i
i dt i dt i forces ext i forces int
d ⃗p
= ∑ ∑⃗ F ext / i+ ∑ ∑ ⃗ F int /i = ∑ ⃗ F ext+ ∑ ⃗0
dt forces ext i forces int i forces ext forces int
d ⃗p
On a bien : = ∑ ⃗ F ext
dt forces ext




I.4. Loi du moment cinétique
⃗ ⃗ ⃗
Le moment cinétique d'un système de points est défini par : LO =∑ LO (M i)=∑ OM i ^ mi ⃗
vi
i i
• Loi du moment cinétique
Dans un référentiel galiléen, pour un système fermé de masse totale m, le moment cinétique du
d⃗ LO
système vérifie : = ∑ ⃗ m (⃗
F )
dt forces ext O ext
• De la même manière que précédemment, on a des forces intérieures qui s'appliquent sur les
points Mi, donc un moment des forces intérieures : ⃗ F int/ M )=⃗
m O (⃗ OM i ^ ∑ ⃗
f j / i mais on i
j ≠i
m O (⃗
peut montrer que : ⃗ mO (⃗
F int )=∑ ⃗ F int /M )=⃗0 i
i


• Loi du moment cinétique scalaire
Dans le cas d'un système en rotation autour d'un axe fixe D, on préfère utiliser le moment
cinétique scalaire, défini par : L Δ=⃗ u Δ (O étant un point de l'axe D).
LO . ⃗
De la même manière le moment scalaire d'une force est défini par mΔ ( ⃗ mO (⃗
F )=⃗ F ). ⃗
uΔ
Dans un référentiel galiléen, pour un système fermé de masse totale m, le moment cinétique
d LΔ
scalaire du système vérifie : = ∑ m (⃗ F )
dt forces ext Δ ext
Il y a alors conservation du moment cinétique d'un système en rotation autour d'un axe fixe si la
somme du moment des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.

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I.5. Notion de couple
En mécanique du point, la seule notion de force suffit à décrire l'influence d'une action sur
un point matériel. Par exemple si 2 forces ⃗ F 1 et ⃗F 2 s'exercent sur un point immobile telles que
⃗ ⃗
F 2=−F 1 , alors ce point reste immobile. En revanche ce n'est parfois plus le cas en mécanique
d'un système de points. Dans quel cas ? Proposer un exemple dans la vie de tous les jours.
Si le point d'application des forces n'est pas au même endroit,
les 2 forces entraînent le système en rotation.
Par exemple, pour tourner un volant (où un guidon de vélo), les
2 mains exercent des forces opposées telles que ⃗ F 1+ ⃗F 2=0⃗ et
le volant tourne autour de son axe.
Les forces ⃗ F 1 et ⃗F 2 sont alors appelées « couple de forces »
Figure 3 : Volant




De...