4




Primitives usuelles

I Polynômes et fractions simples
Fonction Primitive Intervalles
n∈N : x∈R
x0 ∈ R (x − x0 )n+1
(x − x0 )
n n ∈ Z r (N ∪ {−1}) :
n ∈ Z r {−1} n+1
x ∈ ] −∞ ; x0 [ , ] x0 ; +∞ [

x0 ∈ R (x − x0 )α+1
(x − x0 )α ] x0 ; +∞ [
α ∈ C r {−1} α+1

z0 ∈ C r R (x − z0 )n+1
(x − z0 )n R
n ∈ Z r {−1} n+1
1 a∈R ln |x − a| ] −∞ ; a [ , ] a ; +∞ [
x−a
1  
1 ln (x − a)2 + b2
a ∈ R, b ∈ R∗ 2 R
x − (a + ib) x−a
+ i Arctan
b




II Fonctions usuelles
Fonction Primitive Intervalles

ln x x(ln x − 1) ] 0 ; +∞ [
1 αx
eαx α ∈ C∗ e R
α
sin x − cos x R

cos x sin x R
i π π h
tan x − ln | cos x| − + kπ ; + kπ
2 2
cotan x ln | sin x| ] kπ ; (k + 1)π [

sh x ch x R

ch x sh x R

th x ln(ch x) R

coth x ln | sh x| ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [
 P


  5


III Puissances et inverses de fonctions usuelles
Fonction Primitive Intervalles

x sin 2x
sin2 x − R
2 4
x sin 2x
cos2 x + R
2 4
i π π h
tan2 x tan x − x − + kπ ; + kπ
2 2

cotan 2 x − cotan x − x ] kπ ; (k + 1)π [

sh 2x x
sh 2 x − R
4 2
sh 2x x
ch 2 x + R
4 2

th 2 x x − th x R


coth 2 x x − coth x ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [

1  x 
ln tan  ] kπ ; (k + 1)π [

sin x 2
1   x π  i π π h
ln tan + − + kπ ; + kπ
 
cos x 2 4 2 2


1  x
ln th  ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [
 
sh x 2
1
2 Arctan ex R
ch x
1
= 1 + cotan 2 x − cotan x ] kπ ; (k + 1)π [
sin2 x
1 i π π h
= 1 + tan2 x tan x − + kπ ; + kπ
cos2 x 2 2
1
= coth 2 x − 1 − coth x ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [
sh 2 x
1
2 = 1 − th 2 x th x R
ch x
1 cotan 3 x
− cotan x − ] kπ ; (k + 1)π [
sin4 x 3
1 tan3 x i π π h
tan x + − + kπ ; + kπ
cos4 x 3 2 2
6 Primitives usuelles


IV Fonctions dérivées de fonctions réciproques

Fonction Primitive Intervalles


1
Arctan x R
1 + x2


1 1 x
a ∈ R∗ Arctan R
a2 + x2 a a

 
Argth x
 ] −1 ; 1 [

1
] −∞ ; −1 [ ,
 
1  1 + x 
1 − x2  ln 
 

] −1 ; 1 [ , ] 1 ; +∞ [
2 1 − x

1
 
x
 Argth ] −|a| ; |a| [

 

1 a  a 
a ∈ R∗ 1 a + x ] −∞ ; −|a| [ ,
a2 − x2  ln 

  

] −|a| ; |a| [ , ] |a| ; +∞ [
2a a − x

1
√ Arcsin x ] −1 ; 1 [
1 − x2


1 x
√ a ∈ R∗ Arcsin ] −|a| ; |a| [
a2 − x2 |a|


1 Argsh
√x =

√ R
x2 + 1 ln x + x2 + 1


Argch x

 ] 1 ; +∞ [

1 − Argch (−x) ] −∞ ; −1 [
√ √
2
x −1
 
ln |x + x2 − 1|

] −∞ ; −1 [ ou ] 1 ; +∞ [



 a>0 : R
 0 : √ 

1  √  a<
√ a ∈ R∗ ln x + x2 + a −∞ ; − −a
2
x +a √



ou ] a ; +∞ [

1 1 x
Arctan x + R
(x2 + 1)2 2 2
2(x + 1)


x2 1 x
Arctan x − R
(x2 + 1)2 2 2
2(x + 1)