COORDONNÉES CARTÉSIENNES,
CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES

G G G
On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements dans ce
chapitre sont calculés dans le référentiel ℜ .

I. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) .




−∞ < x, y, z < ∞
JJJJG G G G
OM = xu x + yu y + zu z
JJJJG G
G dOM dl G G G dx G dy G dz G
v= = = xu
 x + yu
 y + zu
 z = ux + u y + uz
dt dt dt dt dt
G JJJJJG G G G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = dxu x + dyu y + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.

On en déduit : dτ = dx dy dz .
x = cte : dS x = dy dz
y = cte : dS y = dx dz
z = cte : dS z = dx dy

II. COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans
l’exercice.




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0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , −∞ < z < +∞
JJJJG G G
OM = rur + zu z
 x = r cos θ

 y = r sin θ
z = z

JJJJG G
G dOM dl G G G dr G dθ G dz G
v= =  r + rθuθ + zu
= ru  z = ur + r uθ + u z
dt dt dt dt dt
G JJJJJG G G G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.

On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( dz ) .
r = cte : dS r = rdθ dz
θ = cte : dSθ = dr dz
z = cte : dS z = dr rdθ

On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
2
 dr   2dr 
π ( r + dr ) H − π r 2 H = π r 2  1 +  H − π r 2 H = π r 2  1 +
2
 H − π r H = 2π rdrH
2

 r   r 
Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre
de rayon r et de hauteur H multipliée par dr : dτ = 2π rdrH


III. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , ϕ ) .
On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans
l’exercice.




Géographie terrestre :
G
ur est dirigé selon la verticale ascendante du lieu.
G
uθ est dirigé vers le sud.
G
uϕ est dirigé vers l’est.
θ est appelé la colatitude. ϕ est la longitude.

0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
JJJJG G
OM = rur
 x = r sin θ cos ϕ

 y = r sin θ sin ϕ
 z = r cos θ




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 JJJJG G
G dOM dl G G G dr G dθ G dϕ G
v= =  r + rθuθ + r sin θϕ uϕ = ur + r
= ru uθ + r sin θ uϕ
dt dt dt dt dt
G JJJJJG G G G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.

On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( r sin θ dϕ ) .
r = cte : dS r = ( rdθ )( r sin θ dϕ )
θ = cte : dSθ = ( dr )( r sin θ dϕ )
ϕ = cte : dSϕ = dr rdθ

On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
3
4 4 4  dr  4 4  3dr  4 3
π ( r + dr ) − π r 3 = π r 3 1 +  − π r 3 = π r 3 1 +
3
 − π r = 4π r dr
2

3 3 3  r  3 3  r  3
Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère
de rayon r multipliée par dr : dτ = 4π r 2 dr


IV. PRODUIT VECTORIEL AVEC UNE BASE ORTHONORMÉE DIRECTE
G G
On a souvent besoin dans les exercices de calculer u z ^ uθ dans les exercices.
G G G G G G
Un moyen mnémotechnique est d’écrire les 6 vecteurs unitaires à la suite : ur , uθ , u z , ur , uθ , u z .
G G G G G G G G G
Si on a trois vecteurs unitaires en suivant, alors u3 = u1 ^ u2 : ur = uθ ^ u z ou uθ = u z ^ ur
G G G
Sinon, il faut mettre un signe négatif : u z ^ uθ = −ur
C’est très pratique à utiliser sans être obligé d’utiliser en permanence les trois doigts de la main !!!




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