A. P. M. E. P.
[ Brevet de technicien supérieur novembre 2013
groupement A Nouvelle-Calédonie

Exercice 1 11 points
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
sectionPartie A
Soit l’équation différentielle :

y ′′ + 40y ′ + 2000y = 0(1)
dans laquelle y est une fonction de la variable réelle t , définie et deux fois dérivable
sur l’ensemble des nombres réels.

1. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (1).
2. On considère la fonction f , définie sur l’ensemble des nombres réels par

f (t ) = e−20t sin(40t ).
La courbe représentative Γ de la fonction f figure sur le document réponse
no 1.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . On admet que, pour tout
nombre réel t ,

f ′ (t ) = e−20t [40cos(40t ) − 20sin(40t )].
a. Justifier que la fonction f est une solution de l’équation différentielle (1)
puis que f (0) = 0 et f ′ (O) = 40.
b. Le développement limité, à l’ordre 2 au voisinage de 0, de la fonction f
s’écrit sous la forme

f (t ) = 40t − 800t 2 + t 2 ǫ(t ), avec lim ǫ(t ) = 0.
t →0

i. Donner une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d’abs-
cisse 0.
ii. Étudier la position relative de la courbe Γ par rapport à la tangente T
au voisinage de 0.
iii. Sur le document réponse no 1, tracer la droite T .


1 Partie B
On désigne par U la fonction échelon unité, définie pour tout nombre réel t par :

U (t ) 0 si t < 0
½
=
U (t ) = 1 si t > 0
On considère le filtre suivant :
L C
is = 0



e(t ) s(t )
R
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Les constantes R, L et C sont des réels strictement positifs caractéristiques du circuit.
À l’entrée de ce filtre, on applique une tension modélisée par une fonction e.
En sortie, on recueille une tension modélisée par une fonction s.
Les éléments du circuit sont traversés par un même courant et l’intensité à la sortie,
notée i s , est nulle.
On suppose que les deux fonctions e et s sont nulles pour tout nombre réel t stricte-
ment négatif et qu’elles admettent des transformées de Laplace notées respective-
ment E et S.
Les fonctions e et s sont telles que, pour tout nombre réel t strictement positif,
Zt
ds R 1 R
+ + s(u)du = e(t ).
dt L LC 0 L
De plus, s(0) = 0. On suppose que

R = 20 Ω, L = 0, 5 H et C = 0, 001 F.
1. La fonction e est définie, pour tout nombre réel t , par

e(t ) = U (t ).

Déterminer E (p).
2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation
(2), déterminer une expression de S(p).
3. Vérifier que

40
S(p) = .
(p + 20)2 + 402
40
4. a. Déterminer l’original de .
(p + 20)2 + 402
b. En déduire l’expression de s(t ) pour tout nombre réel t positif ou nul.
c. La courbe représentative de la fonction s est tracée sur l’annexe no 1.
Déterminer graphiquement une valeur approchée à 0, 01 près du nombre
réel t1 à partir duquel la valeur absolue de s(t ) est strictement inférieure
à 0, 05, c’est-à-dire à partir duquel, pour tout réel t > t1 , |s(t )| 6 0, 05.


Exercice 2 9 points
Partie A
Un signal est modélisé par la fonction f , paire et périodique de période 2π, définie
pour tout nombre réel t par :
( π £ £
f (t ) = −t si t∈ 0; π
2
2 £π ¤
f (t )=0 si t∈ 2 ;π
1. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 4π] sur la
figure 1 du document réponse no 2.
2. On admet que la fonction f est développable en série de Fourier.
Dans la suite de l’exercice, a0 , an et b n désignent les coefficients du dévelop-
pement en série de Fourier de la fonction f , avec les notations du formulaire.
π
a. Démontrer que a0 = .
8
b. Justifier que b n = 0 pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1.




Nouvelle–Calédonie Groupe A 2 novembre 2013
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c. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que
Zπ ³
2 π ´
− t cos(t )dt = 1.
0 2
d. En déduire la valeur exacte de a1 .
3. On pose A 0 = a0 . Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1,
on
q note A n l’amplitude de l’harmonique de rang n. On rappelle que A n =
an2 + b n2 .
a. Sur la figure 1 de l’annexe no 2, on a construit le diagramme en bâtons
donnant A 2n en fonction de n jusqu’à n = 5.
Pour tout nombre entier n > 5, l’amplitude A n est négligeable.
À l’aide de ce diagramme, compléter le tableau 1 du document réponse
no 2 avec des valeurs approchées à 10−2 près.
b. On note P la puissance moyenne du signal modélisé par la fonction f ,
exprimée en fonction de ses coefficients de Fourier. D’après la formule de
Bessel-Parseval, on a

1 +∞
P = a02 +
X¡ 2
an + b n2 .
¢
2 n=1

Déduire de la question précédente une valeur approchée de P .


Partie B
On considère la fonction g , définie pour tout nombre réel t par

π 2 1 2
g (t ) = + cos(t ) + cos(2t ) + cos(3t ).
8 π π 9π
1. a. Calculer la dérivée g ′ de la fonction g . k1T)
b. Calculer la valeur exacte de g ′ (k) pour tout entier k compris entre 0 et 3.
2. Sur la figure 2 de l’annexe no 2, on a représenté graphiquement la fonction g ′ .
À l’aide de ce graphique et de la question 1, compléter le tableau de variation
de la fonction g sur le document réponse no 2. On pourra donner une valeur
approchées à 10−2 r près de l’extremum.
3. Construire sur la figure no 1 du document réponse no 2 la courbe représenta-
tive de la fonction g sur [−2π ; 4π].
4. Un étudiant se propose d’afficher sur sa calculatrice la représentation gra-
phique de la fonction g . Parmi les trois réglages suivants de la fenêtre de sa
calculatrice, lequel vous semble le plus adapté ? Justifier.

Rep 1 Rep 2 Rep 3
X min 0 0 0
X max π π π
Y min −2 0 −0, 1
Y max 2 2 1,5




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Document réponse no 1 à rendre avec la copie




La courbe Γ




1




0
0,1 0,2 0,3




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Document réponse no 1 à rendre avec la copie

Annexe no 1




Courbe représentative de la fonction s



1




0,1 0,2 0,3




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Annexe no 2




Figure 1

0,4
0,3
0,2
0,1

0 1 2 3 4 n




Figure 2




1




−π π
−π 2 2 π



−1




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Document réponse no 2 à rendre avec la copie



Figure 1
π




−2π −π π 2π 3π 4π


−π

Tableau 1

n 1 2 3 4 5
A 2n 0, 15 0,00 0,00


Tableau de variation de la fonction g

ω 0 π
0 0 0



g (t )




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