Séries entières.


I. Définition :
Théorème fondamental et définition :
Soit ∑ a n z n une série entière. On note R noyau de convergence de la série entière
n ∈N
(éventuellement +∞). On a les résultats suivants :
(a ) Si ∣z∣<R , ∑ a n z n converge absolument.
n ∈N

∑ a n z n diverge.
(b) Si ∣z∣>R ,
n ∈N
(c) La convergence de ∑ a n z n est normale sur tout disque fermé de centre O de rayon de
n ∈N
convergence r <R.
Remarque : Si ∣z∣=R , ∑ a n z n peut diverger ou converger , absolument ou non.
n∈N


Continuité :
La somme d ' une entière réelle est continue sur l ' intervalle ouvert de convergence. On définit
aussi la continuité pour les fonctions d ' une variable complexe (la définition est la même). On
a ainsi la continuité de la somme d ' une série entière complexe sur disque ouvert de
convergence.

II. Propriétés liées au rayon de convergence.
Conséquences immédiates de la définition, importantes dans la pratique :
Soit la série entière ∑ a n z n de rayon de convergece R.
n∈ N
n
(a ) Si ∑ a z converge, alors R⩾∣z 0∣.
n 0
(b) Si ∑ a z ne converge pas absolument (a fortiori ∑ a n z n0 diverge) , alors R⩽∣z 0∣.
n
n 0
n
(c) Si ∑ a z converge mais ne converge pas absolument , alors R=∣z 0∣.
n 0

(d ) Si un réel positif r vérifie : ∀ z∈C , ∣z∣<r → ∑ a n z n converge , alors r ⩽R.
(e) Si un réel positif r vérifie:∀ z ∈C, ∣z∣>r → ∑ a n z n ne converge pas absolument , als r ⩾R

Déterminations du rayon de convergence :
a
∣ ∣
(a ) Si n+1 a une limite L∈( R plus)∪(+∞), R=L−1 .
n
an
( b) Si √∣a n∣ a une limite L∈(R plus)∪(+∞), R=L−1 .
−1
(c) R=(lim n√∣a n∣) .

Propriétés :
(a ) Si on note R a ( resp. R b) lerayon de convergence de ∑ a n z n (resp. ∑ b n z n ) et si , à partir
d ' un certain rang , ∣a n∣⩽∣b n∣, alorsR a ⩾R b .
(b) Si ∑ a n z n et ∑ b n z n sont deux séries entières telles que ∣a n∣∼∣b n∣, elles ont même rayon
de convergence.
(c) Quel que soit ≤ réel α , les séries entières ∑ a n z n et ∑ n α a n z n ont même rayon de
convergence.

III. Comportement sur le cercle de convergence.
Cas particulier :
Si (a n) n∈ N est une suite réelle décroissante et convergeant vers 0 (elle est donc positive), et si
∑ a n diverge , lerayon de convergence de ∑ a n z n est 1 et ∑ a n z n converge en tout point du
n ∈N n∈N
cercle de convergence sauf en 1.

Cas où une série entière réelle converge en une borne de l'intervalle de convergence :
(a ) Lemme: Si ∑ a n converge , ∑ a n x n converge uniformément sur [0,1].
(b) Propriété: Si ∑ a n x n a pour rayon de convergence R et si elle converge pour x=R
(resp.x=−R ), elle converge uniformément sur [0, R ] (resp.[−R ,0 ]) et la somme est continue
sur [0, R ] (resp.[−R ,0]) .

Conséquence :
Si ∣z0∣=R et si ∑ a n+∞z n0 converge , alors
+∞
∑ a n z n est uniformément convergente sur lerayon
[0, z0 ]. On a donc : ∑ a n z0n = lim ∑ a n (tz 0 )n .
n=n 0 t→1n=n0


IV. Continuité et dérivabilité.
Continuité :
La somme d'une série entière réelle de rayon R est continue sur ]-R,R[. En cas de convergence en R
(resp. en -R) elle est continue sur ]-R,R] (resp. sur [-R,R[ ).

Théorème :
On se place dans lecas des séries entières réelles. La somme d ' une série entière de rayon de
convergence non nul est de classe C∞ sur son intervalle ouvert de convergence , les dérivées
étant obtenues par dérivation terme à terme
+∞
(et étant des séries entières de même rayon de convergence). Si on note f ( x)=∑ a n x n , on a
n=0
+∞
n
donc , pour tout −R<x<R , f '( x)=∑ na n x et plus généralement , pour tout entier k non nul ,
n =1
+∞
f (x)=∑ n (n−1)...( n−k+1)a n x .
(k ) n

n= k
Conséquences :
f (n) (0)
Si ,∀ x tq −R<x<R , on note f ( x)=∑ a n x n , on a : a n = .
n ⩾0 n!
(n )
f (0) n
La série de Taylor de f est : ∑ x .
n ⩾0 n!


VI. Développement d'une fonction en série entière.
Définition :
On dit qu ' une fonction f est développable en série entière sur un voisinage U de 0 s ' il existe
n
une suite (a n )n ∈ N telle que : ∀ z ∈U , f (z)= ∑ a n z .
n ∈N
Développement de quelques fonctions usuelles :




VII. Somme et produit.
Soient ∑ a n z n et ∑ b n z n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et R '.
(1) Somme : ∑ ( a n+b n )z n a dans tous les cas un rayon de convergence R ' ' supérieur ou
égal à min(R , R '); siR ≠R ' , R '' est égal à min (R , R '). Pour tout z tel que ∣z∣<R ' ' ,
+∞ +∞ +∞
∑ (a n +bn )z n =∑ a n z n +∑ b n z n .
n=0 n=0 n =0
+∞ +∞ +∞ n
(2) Pour tout z tel que ∣z∣<min (R , R '), ( ∑ a n z n )( ∑ b n z n )= ∑ c n z n , où c n= ∑ a k bn −k .
n=0 n =0 n=0 k=0
Lerayon de convergence de ∑ cn z n
est supérieur ou égal à min( R , R ').