TORSEURS CINETIQUE ET DYNAMIQUE


1. Torseur cinétique
1.1 Définition
Torseur cinétique d'un solide (S) dans son mouvement par rapport à un référentiel R, réduit au point A :

 V(P ∈ S/R).dm 
 ∫
: Résultante cinétique (ou quantité de mouvement)

{C S/R} =  S 
∫ AP ∧ V(P ∈ S/R).dm  : Moment cinétique au point A
S 

1.2 Calcul de la résultante cinétique
O : origine (ou point fixe) du repère associé au référentiel (R)
1 d  d  d   d OP 
OG = ∫ OP.dm  m.OG  =  ∫ OP.dm  m. OG  = ∫   .dm
m
S
 dt  R  dt S 
R  dt  R S  dt  R

m.V(G ∈ S / R ) = ∫ V(P ∈ S / R ).dm
S

  m.V(G ∈ S / R )
{C S/R} = m.V(G ∈ S/R)
Résultante cinétique :
 σ A (S/R)  Moment cinétique en A noté : σ A (S / R )

1.3 Remarques
m.V(G ∈ S/R) 
si la masse de (S) est concentrée en son centre de gravité (solide ponctuel) : {C S/R }=  
G

 0 
Ex de solide ponctuel envisageable : sphère ou bille de faible diamètre.

relation fondamentale des torseurs : σ B (S / R ) = σ A (S / R ) + BA ∧ m.V(G ∈ S / R )
démonstration :
σ B (S / R ) = ∫ BP ∧ V(P ∈ S/R).dm = ∫ (BA + AP) ∧ V(P ∈ S/R).dm
S S

= ∫ BA ∧ V(P ∈ S/R).dm + ∫ AP ∧ V(P ∈ S/R).dm
S S

= BA ∧ ∫ V(P ∈ S/R).dm + ∫ AP ∧ V(P ∈ S/R).dm
S S

= BA ∧ m.V(G ∈ S / R ) + σ A (S / R )


2. Torseur dynamique
2.1 Définition
Torseur dynamique d'un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère R, réduit au point A :

 Γ(P ∈ S/R).dm 
 ∫S
: Résultante dynamique (ou quantité d'accélération)

{D S/R} =  
∫ AP ∧ Γ(P ∈ S/R).dm  : Moment dynamique au point A
S 


1/4
 2.2 Expression de la résultante dynamique
d  d 
 
m.V(G ∈ S / R ) = ∫ V(P ∈ S / R ).dm 
 dt
m.V ( G ∈ S / R )  =
 ∫
 R  dt S
V ( P ∈ S / R ).dm

S R
d   d V(P ∈ S/R) 
m. V(G ∈ S/R)  = ∫   .dm m.Γ(G ∈ S / R ) = ∫ Γ(P ∈ S / R ).dm
 dt  R S  dt 
R S

  m.Γ(G ∈ S / R )
{D S/R} = m.Γ(G ∈ S/R)
Résultante dynamique :
 δ A (S/R)  Moment dynamique en A noté : δ A (S / R )

2.3 Remarques
m.Γ(G ∈ S/R)
si masse de (S) concentrée en son centre de gravité (solide ponctuel) : {D S/R}=  
G
 0 

relation fondamentale des torseurs : δ B (S / R ) = δ A (S / R ) + BA ∧ m.Γ(G ∈ S / R )
démonstration : identique à celle du § 1.3 en remplaçant les vecteurs vitesse par les vecteurs accélération.

3. Relation moment cinétique / moment dynamique
d 
δ A (S / R ) =  σ A (S / R )  + m.V(A / R ) ∧ V(G ∈ S / R )
 dt R
démonstration :
 d σ A (S / R ) 
σ A (S / R ) = ∫ AP ∧ V(P ∈ S/R).dm   =  d (AP ∧ V(P ∈ S/R))  .dm
  ∫
S  dt  R S  dt R
 d AP   
d 
or :  (AP ∧ V(P ∈ S/R))  =   ∧ V(P ∈ S/R) + AP ∧  d V(P ∈ S/R) 
 dt  R  dt  R 
 dt 
R
 d AP     
AP = OP − OA   =  d OP  −  d OA  = V(P ∈ S/R) − V(A/R)
 dt     
  R  dt  R  dt  R
d 
 (AP ∧ V(P ∈ S/R))  = −V(A/R) ∧ V(P ∈ S/R) + AP ∧ Γ(P ∈ S/R)
 dt R
 d σ A (S / R ) 
  = − V(A/R) ∧ V(P ∈ S/R) + AP ∧ Γ(P ∈ S/R).dm
 dt  ∫
 R S
= − V(A/R) ∧ ∫ V(P ∈ S/R).dm + ∫ AP ∧ Γ(P ∈ S/R).dm
S S
= − V(A/R) ∧ m.V(G ∈ S / R ) + δ A (S / R ) (CQFD)
Cas particuliers :
d  d 
si A fixe dans R : δ A (S/R) =  σ A (S/R)  si A confondu avec G : δ G (S / R ) =  σ G (S / R ) 
 dt R  dt R

4. Energie cinétique d'un solide
4.1 Définition
Energie cinétique d'un solide (S) dans son mouvement par rapport à R : T (S/R) =
1
∫ [V(P ∈ S/R)]2 .dm
2
S
2/4
5. Exemple
On considère le pendule simple constitué d'une tige
v
rectiligne (S), de longueur l, d'épaisseur négligeable,
homogène, de masse m et de c.d.g. G
R(O, x, y, z) : repère lié au bâti (Σ)
La tige (S) est en liaison pivot d'axe (O, z) avec (Σ)
R 1 (O, u, v, w) : repère lié à la tige (S)
Données : OG = l / 2.u ; θ = ( x , u )
Questions :
1. Déterminez l'expression du torseur cinétique, au
point O, de la tige (S) dans son mouvement par
rapport au repère R : Résultante cinétique et
moment cinétique au point O.
2. Déterminez l'expression du torseur dynamique, au point O, de la tige (S) dans son mouvement par rapport
au référentiel R : résultante dynamique et moment dynamique au point O.
3. Déterminez l'expression de l'énergie cinétique de la tige (S) dans son mouvement par rapport à R.


6. Calcul du moment cinétique d'un solide
Par définition : σ A (S / R ) = ∫ AP ∧ V (P ∈ S / R ).dm
S

Démontrons que : σ A (S / R ) = m.AG ∧ V(A ∈ S / R ) + I ( A, S) .Ω S / R

(
σ A (S / R ) = ∫ AP ∧ V (P ∈ S / R ).dm = ∫ AP ∧ V (A ∈ S / R ) + Ω S / R ∧ AP .dm )
S S

= ∫ AP ∧ V (A ∈ S / R ).dm + ∫ AP ∧ (Ω S/ R )
∧ AP .dm
S S
= ∫ AP.dm ∧ V (A ∈ S / R ) + ∫ AP ∧ (Ω S/ R ∧ AP ).dm
S S
= m.AG ∧ V (A ∈ S / R ) + ∫ AP ∧ (Ω S/ R ∧ AP ).dm
S
( )
Calcul de ∫ AP ∧ Ω S / R ∧ AP .dm * avec : AP = (x y z )R et Ω S / R = (ω x ωy ωz )R :
S

 x    ω x   x    x   ω y .z − ω z .y   ω x .y − ω y .x.y − ω z .x.z + ω x .z 
2 2

(
AP ∧ Ω S / R ) 
          
∧ AP =  y  ∧   ω y  ∧  y   =  y  ∧  ω z .x − ω x .z  =  ωy.z 2 − ω z .y.z − ω x .x.y + ω y .x 2 
 z    ω   z    z   ω .y − ω .x   ω .x 2 − ω .x.z − ω .y.z + ω .y 2 
   z       x y   z x y z R
y 2 + z 2 − x .y − x.z 
 
∫
or : I ( A,S) =  − x.y x 2 + z2 − y.z  .dm
S  − x.z − y.z x2 + y2 
 R
y 2 + z 2 − x .y − x.z   ω x   ω .( y 2 + z 2 ) − ω .x.y − ω .x.z 
     x y z 
I ( A,S) .Ω S / R = ∫  − x.y x2 + z2 − y.z  . ω y  dm = ∫ − ω x .x.y + ω y .( x + z ) − ω z .y.z  dm
 2 2
 
S  − x.z − y.z x 2 + y 2   ω z  R S  − ω .x.z − ω .y.z + ω .( x 2 + y 2 ) 
 R  x y z R
( )
* ∫ AP ∧ ΩS / R ∧ AP .dm = J ( A ,S) ( AP) avec J ( A , S) : Opérateur d'inertie de S en A. Propriété : opérateur linéaire. Conséquence :
S L'expresssion est donc évaluable en s'appuyant sur la matrice d'inertie I ( A , S) .
Cas particuliers :
si A fixe dans R : σ A (S / R ) = I ( A,S) .Ω S / R si A confondu avec G : σ G (S / R ) = I ( G ,S) .Ω S / R
3/4
7. Calcul de l'énergie cinétique d'un solide
7.1 Cas général
T (S/R) = ∫ [V(P ∈ S/R)] .dm
1 2
Par définition : Rem : énergie cinétique notée T ou Ec.
2S
Démontrons que : 2.T (S/R)= A {C S/R }⊗ A {V S/R }A Comoment des torseurs cinétique et cinématique
(réduits impérativement au même point A)
démonstration :
2.T (S/R) = ∫ [V(P ∈ S/R)] .dm = ∫ V(P ∈ S/R) V(P ∈ S/R).dm
2
•




∫ (V(A ∈ S / R ) + Ω S / R ∧ AP)
S S

= • V(P ∈ S/R).dm


∫ (Ω S / R ∧ AP)
S

∫
= V (A ∈ S / R ) • V(P ∈ S/R).dm + • V(P ∈ S/R).dm
S S
produit mixte

∫
= V (A ∈ S / R ) • V(P ∈ S/R).dm + Ω S / R •
∫ AP ∧ V(P ∈ S/R).dm
S S

 Ω S / R  m V(G ∈ S/R) 
= V(A ∈ S / R ) • m V(G ∈ S/R) + Ω S / R • σ A (S/R) =  • 
V(A ∈ S / R )  σ A (S/R) 

7.2 Cas particuliers
si A fixe dans R : 2.T (S/R) = Ω S/R .I (A,S) .Ω S/R = Ω S/R .σ A (S/R)


si A confondu avec G : 2.T (S/R) = ΩS/R .I (G,S) .ΩS/R + m. V(G ∈ S/R) [ ]2
cas de mouvements particuliers (démonstrations : cf. TD) :
rotation autour d'un axe ∆
translation rotation autour d'un axe ∆ fixe /R
non fixe /R, passant par G
1
1 T (S/R) = .J ∆ .Ω S/R 2 1 1
T (S/R) = .m.V(P ∈ S/R) 2 , ∀P 2 T (S/R) = .m.V(G ∈ S/R) 2 + .J ∆ .Ω S/R 2
2 2 2
J ∆ : moment d'inertie de S / axe ∆
" 1/2.m.V " 2 " 1/2.J ∆ .ω 2 " " 1/2.m.VG 2 + 1 / 2.J ∆ .ω 2 "


8. Torseurs cinétique, dynamique et énergie cinétique pour un ensemble de solides
On considère un système Σ constitué de n solides Si en mouvement par rapport à R : Σ = {S1 ,..., Si ,...S n }

n n n 
Torseur cinétique de Σ : {C Σ/R} = ∑ {C Si /R} = ∑ m i .V(G i ∈ Si / R ) ∑ σ A (Si /R)
i =1 i=1 i =1 
n n n 
Torseur dynamique de Σ : {D Σ/R} = ∑ {DSi /R} = ∑ m i .Γ(G i ∈ Si / R ) ∑ δ A (Si /R)
i =1 i =1 i =1 
n
Energie cinétique de Σ : T (Σ/R) = ∑ T (Si /R)
i =1

Méthode de calcul :
on effectue le calcul des éléments (résultante cinétique, énergie cinétique, ...) de chacun des solides du
système en veillant pour les moments (cinétique et dynamique) à les exprimer au même point,
puis on effectue la somme de ces éléments.

4/4