PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE


1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
1.1 Référentiel galiléen
Tout référentiel pour lequel le PFD est vérifié peut être considéré comme galiléen.
La notion de référentiel galiléen est absolue. Tout repère fixe dans l'univers est galiléen, mais on ne peut le définir.
Aussi le choix d'un repère galiléen se fait, par approximation, en fonction de la nature du problème étudié.

nature du problème étudié choix du référentiel origine du repère axes du repère
mouvement d'un satellite dirigés vers 3 étoiles
héliocentrique centre du soleil
dans le système solaire lointaines
mouvement d'un satellite dirigés vers 3 étoiles
géocentrique centre de la terre
autour de la terre lointaines
mouvement d'un solide
terrestre lié à la surface terrestre fixes par rapport à la terre
sur la terre
Rem : tout référentiel animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme (vitesse constante) par
rapport à un référentiel galiléen est également galiléen.


1.2 Enoncé du PFD
Il existe au moins un référentiel galiléen Rg pour lequel le torseur dynamique d'un système (S) dans son
mouvement par rapport à Rg est égal au torseur des actions mécaniques extérieures exercées sur (S) :

m.Γ(G ∈ S/Rg)   R S / S  les torseurs sont réduits
{D S/Rg} = {T S /S}  =  impérativement
 δ A (S/Rg)  m A ( S / S)  au même point A.

Rappel : système ou ensemble matériel : solide (corps non déformable) ou ensemble de solides.


1.3 Théorèmes généraux de la dynamique
a ) théorème de la résultante dynamique b ) théorème du moment dynamique

m.Γ(G ∈ S/Rg) = R S / S δ A (S/Rg) = m A ( S / S)


1.4 Equation du mouvement
Les projections des 2 équations vectorielles sur les 3 axes d'un repère conduisent à obtenir 6 équations diffé-
rentielles du second ordre dans lesquelles figurent :
les paramètres cinématiques qi
les dérivées premières et secondes de ces paramètres : qi' et qi''
la variable t
les données du problème : données géométriques, d'inertie, composantes connues des actions mécaniques
les composantes inconnues des actions mécaniques (dont les actions de liaisons)

Equation du mouvement :
C'est une équation différentielle du second ordre issue du PFD dans laquelle ne figure pas les composantes
inconnues des actions mécaniques de liaisons (issues des torseurs d'AM associées aux liaisons parfaites).

Intégrale première du mouvement :
Elle est obtenue en intégrant une équation du mouvement : il s'agit donc d'une équation différentielle du
premier ordre.

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1.5 Deux exemples caractéristiques d'équations du mouvement (à bien connaître) :

SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE

Théorème de la résultante dynamique : R S / S = m.Γ(G ∈ S/Rg)

Equation du mouvement obtenue par l'application du théorème de la Figure :
résultante dynamique en projection sur l'axe y : (S)
R S / S .y = m.Γ(G ∈ S/Rg).y

Rem importante : on projette l'équation sur l'axe du déplacement.

b
R S / S = F + Fressort + Famortis. + Fbâti + P

• F = F( t ).y
• Fressort = − k.y( t ).y : - proportionnel à l'allongement du ressort
- s'oppose à l'allongement
dy( t )
• Famortis. = − b. .y : - proportionnel à la vitesse de déplacement
dt Données :
- s'oppose à la vitesse de déplacement m: masse du solide S (kg)
k: raideur ressort (N/m)
• Fbâti.y = FS0 / S .y = 0 car liaison S0/S glissière d'axe (O, y ) parfaite
b: coefficient d'amortissement
• P.y = 0 si l'axe y n'est pas vertical (N.m-1.s)
F: force appliquée (N)
2
d y(t) y(t) : déplacement (m) / position
m.Γ(G ∈ S/Rg).y = m. d'équilibre
dt 2 (sans application de l'effort F)

d 2 y(t) dy(t)
m. 2
+ b. + k.y(t) = F( t ) ou " ΣF = m.Γ "
dt dt
Si liaison entre bâti S0 et S
Y ( p) 1 1/ k glissière d'axe (O, y) parfaite
Rem 1 : = = (2ème ordre) (liaison non représentée
F(p) m.p + b.p + k
2 b m
1 + .p + .p 2 sur la figure ci-dessus) :
k k
X S0 / S L S0 / S 
{T S0/S }=  0 
Rem 2 :
si l'axe y est vertical, l'équation issue du PFD est toujours valable mais M S0 / S 
Z N S0 / S  Rg
en considérant pour y(t) le déplacement du solide S par rapport à sa O  S0 / S
position d'équilibre, c'est-à-dire sans application de l'effort F mais avec
celle du poids P = M.g : le ressort est ainsi déformé pour y = 0 .




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 SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D'UN AXE (principal d'inertie ou non)

Théorème du moment dynamique : δ O (S/Rg) = m O ( S / S) Figure :
xs
Equation du mouvement obtenue par l'application du théorème du
moment dynamique, au point O, en projection sur l'axe z :
z = zs = zg
δ O (S/Rg).z = m O ( S / S).z

remarque importante :
on projette l'équation sur l'axe de rotation : passant par O et ys
porté par z

m O ( S / S) = m O (S0 / S) + m O (ext / S) S0
S


• m O (S0 / S).z = 0 si liaison S0/S pivot d'axe (O, z) parfaite Données :
• Attention : si la liaison S0/S n'est pas parfaite, on peut introduire :  A − F − E
- un couple de frottement sec (constant) et éventuellement I(O, S) =  − F B − D 
- un couple de frottement visqueux (proportionnel à la vitesse
de rotation de l'arbre) − E − D I  Rs
s'opposants au mouvement de rotation de l'arbre (hyp: ω > 0 )
m O (S0 / S).z = Cfrt.sec + Cfrt.vis. = −Cf − µ.ω( t ) < 0 Ω S / Rg = ω.z g = ω.z S avec ω = θ'
avec µ : coef. de frottement visqueux (N.m.s/rad)
Si liaison entre S0 et S
pivot d'axe (O, z) parfaite :
• m O (ext / S).z = C( t )
X S0 / S L S0 / S 
Rem : C peut être un couple moteur : C = Cmot > 0 ou
un couple de freinage : C = Cfrein < 0 {T S0/S}=  YS0 / S 
M S0 / S 
attention signes valables avec ω > 0 Z 0  Rg
O  S0 / S


 A − F − E  0   − E.ω 
     
σ O (S/Rg) = I (O, S) .Ω S / Rg car O point fixe / Rg σ O (S/Rg) =  − F B − D . 0  =  − D.ω 
− E − D I  Rs  ω  Rs  I.ω  Rs

 − E.ω'  0  − E.ω   ..... 
 d σ O (S/Rg)   d σ O (S/Rg)         
δ O (S/Rg) =   =   + Ω Rs/Rg ∧ σ O (S/Rg) =  − D.ω'  +  0  ∧  − D.ω  =  ..... 
 dt   dt   I.ω'       
  Rg   Rs
  Rs  ω  Rs  I.ω  Rs  I.ω'  Rs
Rg : référentiel galiléen

dω(t)
δ O (S/Rg).z = I. car : z = z s = z g
dt

En tenant compte du couple de
Sans tenir compte du couple de frottement visqueux : frottement visqueux :
dω(t) dω(t)
I. = C( t ) avec I : moment d'inertie / axe de rotation I. + µ.ω(t) = C( t )
dt dt

Ω( p ) 1 Ω( p ) 1/ µ
= (intégrateur) =
C(p) I.p C(p) 1 + (I / µ).p
(1er ordre)
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2. Principe des actions mutuelles (ou réciproques) : {T S2/S1} = −{T S1/S2}

démonstration :
S = S1 ∪ S 2 et S1 ∩ S 2 = φ

{DS1/Rg} = {T S1/S1}
{DS1/Rg} = {T S/S1}+ {T S2/S1} (1)
{DS2/Rg} = {T S2/S2}
{DS2/Rg} = {T S/S2}+ {T S1/S2} (2)
{ } { }
(1) + (2) : {DS1/Rg} + {DS2/Rg} = T S/S1 + T S/S2 + {T S2/S1} + {T S1/S2}
or {DS/Rg} = {DS1/Rg} + {DS2/Rg}
en effet pour la résultante dynamique : ∫ Γ(M / Rg).dm = ∫ Γ(M / Rg ).dm + ∫ Γ(M / Rg).dm
M∈S M∈S1 M∈S2
{ } { } {
et T S/S = T S/S1 + T S/S2 }
par ailleurs {DS/Rg} = {T S/S}
 
{T S2/S1} + {T S1/S2} = 0 {T S2/S1} = −{T S1/S2}
0


3. Cas particuliers de simplification
0
Le Principe Fondamental de la Dynamique peut se ramener au PFS : {T S /S}=   dans les 4 cas suivants :
∀P  
0
(S) est en équilibre par rapport à Rg : le PFS est un cas particulier du PFD
(S) considéré de masse nulle : hypothèse envisageable dans certains cas
(S) à un mouvement de translation rectiligne uniforme V(P ∈ S/Rg) = cte à tout instant, ∀P
 m.Γ(G ∈ S/Rg) 
  0
en effet {D S/Rg} = δ (S/Rg) = AP ∧ Γ(P ∈ S/Rg).dm  =  
 A ∫  0
 S 
(S) est en rotation uniforme autour d'un axe fixe /Rg, passant par son c.d.g., cet axe étant principal d'inertie :

figure : cf. page précédente
m.Γ (G ∈ S / R ) 0
Solide (S) de masse m en liaison pivot d'axe (O, z g ) avec le {D S/Rg}=    
O
 δ O (S/Rg)  O 0
bâti (S0), auquel est lié le référentiel galiléen de repère
associé R g (O, x g , y g , z g )
R s (O, x s , y s , z s ) est le repère lié à (S) ; θ = ( x g , x s ) démonstration :

(S) est animé d'un mouvement de rotation uniforme / Rg G ∈ axe de rotation
θ' = ω = cte
V(G ∈ S / R ) = 0 et Γ(G ∈ S / R ) = 0
Le centre de gravité G de (S) est sur l'axe de rotation
( O, z g ) = ( O, z s )  − E.ω'+ D.ω 2  0
   
Matrice d'inertie de (S) au point O : δ O (S/Rg) =  − D.ω'− E.ω  =  0 
2
  0
 A − F 0  C.ω' 
  Rs   Rs
I ( O,S) = − F B 0  car axe (O, z) principal d'inertie
 0 0 C R car D = E = 0 et ω = cte



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