TORSEURS : application à la mécanique, propriétés 1ère année MPSI

Torseur cinématique Torseur d'Action Mécanique
Objet de la
mouvement de 2 par rapport 1 AM de 2 sur 1 : 2/1 ou 2
1
description
 Ω 2 /1   R 2 / 1 
Définition {V2 /1} =   {T2 /1} =  
V(P ∈ 2 / 1) m P (2 / 1)
Résultante vecteur vitesse de rotation : Ω 2 / 1 résultante de l'AM de 2/1 : R 2 / 1
la résultante est l'invariant vectoriel du torseur (ne dépend pas du point P)
Moment résultant moment résultant de l'AM de 2 sur 1 au point P :
au point P vecteur vitesse au point P : V(P ∈ 2 / 1)
m P (2 / 1)
α 2 / 1 u 2/1  X 2 / 1 L 2/1 
{V2 /1 }= β 2 /1 v 2/1 

{T2 /1}=  Y2 /1 M 2/1 

γ w 2 / 1  R Z N 2 / 1  R
P  2 /1 P  2 /1

P : point de réduction (ou d'expression) P : point de réduction (ou d'expression)
Composantes du torseur cinématique du torseur d'AM
R : repère d'expression des composantes R : repère d'expression des composantes

α 2 / 1 , β 2 / 1 , γ 2 / 1 : composantes de Ω 2 / 1 X 2 / 1 , Y2 / 1 , Z 2 / 1 : composantes de R 2 / 1
unité : rad/s unité : N
u 2 / 1 , v 2 / 1 , v 2 / 1 : composantes de V(P ∈ 2 / 1) L 2 / 1 , M 2 / 1 , N 2 / 1 : composantes de m P (2 / 1)
unité : m/s unité : N.m
Relation
fondamentale V(M ∈ 2 / 1) = V(P ∈ 2 / 1) + MP ∧ Ω 2 / 1 m M (2 / 1) = m P (2 / 1) + MP ∧ R 2 / 1

torseurs particuliers
Torseur à Ω 2 / 1  r R 2 / 1  r
résultante {V2 / 1 }=  r  si V(P ∈ 2 / 1) = 0 {T2 /1}=  r  si m P (2 / 1) = 0
(ou glisseur) P
 0  P
 0 
Lorsque pour le mouvement de 2/1 il existe un
point I pour lequel le vecteur vitesse est nul : Lorsque l'AM de 2 sur 1 peut être modélisée par :
Ω 2 / 1  - une force F2 / 1 appliquée en P, ou

{V2 /1 }=  r 
exemple I
 0  - un glisseur F2 / 1 de support passant par P
I ∈ ∆ 2 / 1 Axe Instantané de Rotation F2 / 1 

{T2 /1}=  r 
rem : dans le cas d'un mouvement plan, P
 0 
il existe nécessairement un CIR : I2/1
r r r r r
Torseur couple    0     0  0 
(à résultante {V2 /1 }=  0
=   {T2 /1}=  0
=  =  r 
nulle) ∀P  V ( P ∈ 2 / 1)  ∀P  V2 / 1  ∀P  m P ( 2 / 1)  ∀P  m 2 / 1  ∀P C
propriété vecteur vitesse identique en tout point moment résultant de l'AM identique en tout point
r z
mouvement de 2/1 : translation torseur couple +F
conséquences : exemple :
- les trajectoires sont des courbes superposables couple de forces :
exemple - translation rectiligne : droites parallèles AM résultante de 2d
- translation circulaire : cercles de même φ l'action de 2 forces de r y
- même intensité
−F
- directions parallèles
x r r
C = −2d.F.z
- sens contraire 1/2
 Propriétés des torseurs


 R 1   R 2 
soient {T1 } =   et {T2 } =   deux torseurs réduits au même point P
m1 (P) m 2 (P)

Egalité de deux torseurs {T1} = {T2 } si : - résultantes identiques : R 1 = R 2 et
- moment résultant (au même point P) identiques : m1 (P) = m 2 (P)

important : on ne peut comparer deux torseurs que s'ils sont réduits au même point

2 AM sont équivalentes si les torseurs résultants les décrivant sont identiques
exemple
ex : torseurs d'AM définis à partir des descriptions locale / globale d'une AM
r
Invariant scalaire automoment : a = R • m(P) = constante
 R 1   R 2 
{T1}× {T2 } =  ×   = R 1 • m 2 ( P ) + R 2 • m1 ( P )
Comoment (ou produit) m1 (P) m 2 (P)
de deux torseurs
autre notation : {T1 } ⊗ {T2 }

Equiprojectivité m(A) • AB = m(B) • AB
application fréquente les projections des vecteurs vitesse V(A ∈ 2 / 1) et V(B ∈ 2 / 1) [moments en A et B du torseur
en cinématique cinématique du mouvement de 2/1] sur la droite (AB) sont identiques
graphique
r
ensemble des points P où le moment et la résultante du torseur sont colinéaires : m(P) = k.R
r
R ∧ m ( O) r

OP = + λ.R : représentation paramétrique (de paramètre λ) de l'axe central
R2
Axe central propriétés :
- moment central identique en tout point de l'axe central
- moment central de module minimum
- moment central et résultante portés par axe central


 R 1   R 2   R 1 + R 2 
P {T1 }+ P {T2 } =  + = 
m1 (P) m 2 (P) m1 (P) + m 2 (P)
Somme de torseurs

important : on ne peut additionner deux torseurs que s'ils sont réduits au même point




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