Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Métropole)

[critor]

Correction exercice n°2 non-spé (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 de Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2033

Question A)1) :
Au 1^er janvier 2017 il y a

$mathjax$u_0=900$mathjax$

adhérents.

$mathjax$u_1=u{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,75 u_0+12\\
\phantom{u_1}=0,75\times 900+12\\
\phantom{u_1}=675+12\\
\phantom{u_1}=687$mathjax$

Au 1^er février 2017, il y aura

$mathjax$u_1=687$mathjax$

adhérents.

$mathjax$u_2=u{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,75 u_1+12\\
\phantom{u_2}=0,75\times 687+12\\
\phantom{u_2}=515,25+12\\
\phantom{u_2}=527,25$mathjax$

Au 1^er février 2017, il y aura

$mathjax$527$mathjax$

adhérents.

Question A)2)a) :

$mathjax$v_n=u_n-48\Leftrightarrow u_n=v_n+48$mathjax$

Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n+12-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75(v_n+48)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+0,75\times 48-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n$mathjax$

Donc

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$q=0,75$mathjax$

.

Question A)2)b) :

$mathjax$v_0=u_0-48\\
\phantom{v_0}=900-48\\
\phantom{v_0}=852$mathjax$

Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}852\times 0,75^n$mathjax$

Question A)2)c) :
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=v_n+48\\
\phantom{u_n}=852\times 0,75^n+48$mathjax$

Question A)3) :

$mathjax$u_n<100\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48<100\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48-48<100-48\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n<52\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{852\times 0,75^n}{852}<\frac{52}{852}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 0,75^n<\frac{13}{213}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow ln\left(0,75^n\right)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\text{ car }0,75^n>0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n ln(0,75)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,75)}{ln(0,75)}>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\text{ car }ln(0,75)<0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}$mathjax$

Or,

$mathjax$\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\approx 9,7$mathjax$

Donc

$mathjax$n≥10$mathjax$

.

La présidente devra démissionner au bout de 10 mois, soit au 1^er novembre 2017.

Question B)1) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
Il utilise 3 variables :

• l'entier N qui est incrémentée de 1 à 12 dans le corps de la boucle est donc le nombre de mois écoulés
• le réel U qui est initialisé à
  $mathjax$u_0=900$mathjax$
  et modifié dans le corps de la boucle selon la relation de récurrence
  $mathjax$u_{n+1}=0,75 u_n+12$mathjax$
  est donc le nombre d'adhérents
• le réel S initialisé à 0 est la somme des cotisations mensuelles collectées

A chaque mois écoulé, le paiement des cotisations des U membres implique :
Affecter à S la valeur S+10U

On souhait afficher le montant total collecté, d'où :
Sortie : Afficher S

Question B)2) :

Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.

Algorithme

Programme

Code: Tout sélectionner Variables :    S réel    N entier    U réel Traitement :    S prend la valeur 0    U prend la valeur 900    Pour N allant de 1 à 12 :       Affecter à S la valeur S+10U       Affecter à U la valeur 0,75u+12       Afficher N, U et S    Fin pour Sortie :    Afficher S

TI- 82 83/84 TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Tout sélectionner 0→S 900→U For(N,1,12    S+10U→S    0.75U+12→U    Pause {N,U,S} End S Code: Tout sélectionner Define me2017es()= Func    Local s,u,n    0→s    900→u    For n,1,12       s+10·u→s       0.75·u+12→u       Disp n,u,s    EndFor    Return s EndFunc Code: Tout sélectionner 0→S 900→U For 1→N To 12    S+10U→S    0.75U+12→U    {N,U,S}◢ End S Code: Tout sélectionner SetDecimal 0⇒s 900⇒u For 1⇒n To 12    s+10u⇒s    0.75u+12⇒u    Print {n,u,s} End Return s Code: Tout sélectionner EXPORT me2017es() BEGIN    S:=0;    U:=900;    FOR N FROM 1 TO 12 DO       S:=S+10*U;       U:=0.75*U+12;       PRINT({N,U,S});    END;    PRINT(S); END;

Voici la trace par itération de l'algorithme :

N	U	S
0	900	0
1	687	9000
2	527	15870.
3	407	21142.5
4	318	25216.88
5	250	28392.66
6	200	30894.49
7	162	32890.87
8	133	34508.15
9	112	35841.11
10	96	36960.84
11	84	37920.63
12	75	38760.47

Le total perçu est donc d'environ 38760.47€.