Question A)1)
$mathjax$2\times\left(1+\frac{20}{100}\right)=2\times(1+0,2)\\
\phantom{2\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2\times 1,2\\
\phantom{2\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,4$mathjax$
\phantom{2\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2\times 1,2\\
\phantom{2\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,4$mathjax$
En 2016, la surface cultivée sera de 2,4 hectares.
De même
$mathjax$2,4\times\left(1+\frac{20}{100}\right)=2,4\times(1+0,2)\\
\phantom{2,4\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,4\times 1,2\\
\phantom{2,4\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,88$mathjax$
\phantom{2,4\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,4\times 1,2\\
\phantom{2,4\times\left(1+\frac{20}{100}\right)}=2,88$mathjax$
En 2017, la surface cultivée sera donc de 2,88 hectares.
Question A)2)
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$S_{n+1}=\left(1+\frac{20}{100}\right)S_n\\
\phantom{S_{n+1}}=(1+0,2)S_n\\
\phantom{S_{n+1}}=1,2 S_n$mathjax$
\phantom{S_{n+1}}=(1+0,2)S_n\\
\phantom{S_{n+1}}=1,2 S_n$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(S_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison 1,2.Question A)3)
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$S_n=S_0\times 1,2^n\\
\phantom{S_n}=2\times 1,2^n$mathjax$
\phantom{S_n}=2\times 1,2^n$mathjax$
Question A)4)
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$S_n\geq 10\Leftrightarrow 2\times 1,2^n\geq 10\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow 1,2^n\geq\frac{10}{2}\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow 1,2^n\geq 5\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow ln\left(1,2^n\right)\geq ln(5)\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow n\times ln(1,2)\geq ln(5)\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(5)}{ln(1,2)}$mathjax$
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow 1,2^n\geq\frac{10}{2}\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow 1,2^n\geq 5\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow ln\left(1,2^n\right)\geq ln(5)\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow n\times ln(1,2)\geq ln(5)\\
\phantom{S_n\geq 10}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(5)}{ln(1,2)}$mathjax$
(car ln est une fonction croissante et car
$mathjax$ln(1,2)>0$mathjax$
)Or,
$mathjax$\frac{ln(5)}{ln(1,2)}\approx 8,8$mathjax$
Donc
$mathjax$n\geq 9$mathjax$
.C'est en l'année
$mathjax$2015+9=2024$mathjax$
que la ferme Bernard cultivera l'ensemble de sa surface disponible.Question B)1)
Pour avoir le détail du tableau, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice :
Algorithme | Programme | ||||||||||
|
|
D'où le tableau ainsi complété :
| Valeur de K | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Valeur de U | 1 | 1,8 | 2,6 | 3,4 | 4,2 | 5 | 5,8 | 6,6 | 7,4 | 8,2 | 9 |
Question B)2)
D'après la calculatrice, l'algorithme répond 9.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour, de compteur allant de 1 à 10.
Elle est donc itérée 10 fois.
La variable U initialisée à 1 et incrémentée dans la boucle de 0,8 prend donc les valeurs de la surface cultivée selon le mode biologique chaque année.
En fin d'algorithme, elle correspond donc à la surface cultivée selon ce mode l'année
$mathjax$2015+10=2025$mathjax$
.Question B)3)
$mathjax$\frac{70}{100}\times 18=\frac{1260}{100}\\
\phantom{\frac{70}{100}\times 18}=12,6$mathjax$
\phantom{\frac{70}{100}\times 18}=12,6$mathjax$
La limite pour la production biologique étant de 12,6 hectares, avec 9 hectares en 2025 la limite n'est donc pas atteinte.
Question B)4)
Nous souhaitons donc que l'algorithme se termine lorsque la limite sera atteinte, c'est-à-dire lorsque U≥12,6.
Passons donc à une boucle Tant que de condition de poursuite le contraire : U<12,6.
Il reste alors à initialiser et incrémenter correctement le rang K.
Enfin, comme l'on souhaite obtenir une année, on affichera en fin d'algorithme 2015+K.
- Code: Tout sélectionner
Variables
K un entier naturel
U un nombre réel
Début
U prend la valeur 1
K prend la valeur 0
Tant que U<12,6
U prend la valeur U+0.8
K prend la valeur K+1
Fin du Tant que
Afficher 2015+K
Fin
