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Question 1)a) :
En septembre 2016, nous avons 27500 étudiants.
150 étudiants démissionnent en cours d'années scolaire, ce qui fait donc en juin 2016 :
$mathjax$27500-150=27350$mathjax$
étudiants.Question 1)b) :
L'effectif augmente de 4% avant la rentrée, ce qui donne en septembre 2016 :
$mathjax$27350\times\left(1+\frac{4}{100}\right)=27350\times\left(1+0,04\right)\\
\phantom{27350\times\left(1+\frac{4}{100}\right)}=27350\times 1,04\\
\phantom{27350\times\left(1+\frac{4}{100}\right)}=28444$mathjax$
étudiants.\phantom{27350\times\left(1+\frac{4}{100}\right)}=27350\times 1,04\\
\phantom{27350\times\left(1+\frac{4}{100}\right)}=28444$mathjax$
Question 2) :
Donc, pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_{n+1}=\left(u_n-150\right)\times\left(1+0,04\right)\\
\phantom{u_{n+1}}=\left(u_n-150\right)\times\left(1+0,04\right)\\
\phantom{u_{n+1}}=\left(u_n-150\right)\times 1,04\\
\phantom{u_{n+1}}=1,04 u_n-150\times 1,04\\
\phantom{u_{n+1}}=1,04 u_n-156$mathjax$
\phantom{u_{n+1}}=\left(u_n-150\right)\times\left(1+0,04\right)\\
\phantom{u_{n+1}}=\left(u_n-150\right)\times 1,04\\
\phantom{u_{n+1}}=1,04 u_n-150\times 1,04\\
\phantom{u_{n+1}}=1,04 u_n-156$mathjax$
Question 3) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
On souhaite que l'algorithme se termine sur l'année à partir e laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
Cette capacité est de 33000, et l'événement se traduit donc dans le langage de l'algorithme par
$mathjax$U>33000$mathjax$
.La condition de poursuite de la boucle Tant que est donc l'événement contraire :
$mathjax$U≤33000$mathjax$
.D'où la ligne L5 complétée :
L5: Tant que U≤33000 faire
Les variables U et n représente respectivement la valeur du terme
$mathjax$u_n$mathjax$
et son rang.La boucle sert à passer au terme suivant.
Dans le corps de la boucle, la variable n doit donc être incrémentée de 1.
D'où la ligne L6 complétée :
L6: n prend la valeur n+1
La variable U quant à elle subit l'affectation récursive correspondant à la relation de récurrence de la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
.D'où la ligne L7 complétée :
L7: U prend la valeur 1,04U-156
Enfin, l'algorithme doit afficher non pas le rang mais l'année.
D'où la ligne L9 complétée :
L9: Sortie: Afficher n+2016
Question 4)a) :
Rajoutons un affichage de l'état des variables en fin d'itération de la boucle, et programmons-le sur notre calculatrice graphique afin d'obtenir directement le tableau à recopier.
Algorithme | Programme | ||||||||||||
|
|
D'où le tableau ainsi complété :
| Initialisation | Etape 1 | Etape 2 | Etape 3 | Etape 4 | Etape 5 | Etape 6 | |
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Valeur de U | 27500 | 28444 | 29426 | 30447 | 31509 | 32613 | 33762 |
Question 4)b) :
La variable N valant 6 en sortir, l'algorithme affiche donc
$mathjax$6+2016=2022$mathjax$
.Question 5)a) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n-3900$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-3900\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04 u_n-156-3900\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04 u_n-4056\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04\left(u_n-\frac{4056}{1,04}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04\left(u_n-3900\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=1,04 u_n-156-3900\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04 u_n-4056\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04\left(u_n-\frac{4056}{1,04}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04\left(u_n-3900\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,04 v_n$mathjax$
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison $mathjax$q=1,04$mathjax$
et de premier terme $mathjax$v_0=u_0-3900\\
\phantom{v_0}=27500-3900\\
\phantom{v_0}=23600$mathjax$
\phantom{v_0}=27500-3900\\
\phantom{v_0}=23600$mathjax$
Question 5)b) :
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_n=v_0\times q^n\\
\phantom{v_n}=23600\times 1,04^n$mathjax$
\phantom{v_n}=23600\times 1,04^n$mathjax$
Or,
$mathjax$v_n=u_n-3900\Leftrightarrow u_n=v_n+3900$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_n=23600\times 1,04^n+3900$mathjax$
.Question 5)c) :
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}1,04^n=+\infty$mathjax$
car $mathjax$1,04>1$mathjax$
.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}23600\times 1,04^n=+\infty$mathjax$
et $mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$mathjax$
Le Président a donc raison d'être inquiet.
Car non seulement la capacité d'accueil va être dépassée, mais de plus selon cette modélisation une simple extension de l'université ne sera en aucun cas une solution permettant de couvrir les besoins.
