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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Ndless TI-Nspire
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : https://tipla.net/a144178
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Description
1
Développements limités usuels en 0
x x2 xn
ex = 1+ + + ···+ + O xn+1
1! 2! n!
x3 x2n+1
sh x = x+ + ···+ + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
ch x = 1+ + + ···+ + O x2n+2
2! 4! (2n)!
x3 x2n+1
+ · · · + (−1)n
sin x = x− + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
+ · · · + (−1)n
cos x = 1− + + O x2n+2
2! 4! (2n)!
α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx + x + O xn+1
x + ···+
2! n!
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O xn+1
1−x
x2 x3 x4 xn
ln(1 − x) = −x − − − − ···− + O xn+1
2 3 4 n
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + O xn+1
1+x
x2 x3 x4 xn
+ · · · + (−1)n−1 + O xn+1
ln(1 + x) = x− + −
2 3 4 n
√ x x2 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
+ · · · + (−1)n−1 x + O xn+1
1+x = 1+ −
2 8 2 × 4 × · · · × 2n
1 x 3 2 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
+ x − · · · + (−1)n x + O xn+1
√ = 1−
1+x 2 8 2 × 4 × · · · × 2n
x3 x2n+1
+ · · · + (−1)n
Arctan x = x − + O x2n+3
3 2n + 1
x3 x2n+1
Argth x = x + + ···+ + O x2n+3
3 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
Arcsin x = x + + ··· + + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
+ · · · + (−1)n
Argsh x = x − + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1
x3 2 17 7
th x = x− + x5 − x + O x9
3 15 315
1 2 17 7
tan x = x + x3 + x5 + x + O x9
3 15 315
2
Développements en série entière usuels
∞ an
eax xn
P
= a ∈ C, x ∈ R
n=0 n!
∞ 1
x2n+1
P
sh x = x∈R
n=0 (2n + 1)!
∞ 1
x2n
P
ch x = x∈R
n=0 (2n)!
∞ (−1)n
x2n+1
P
sin x = x∈R
n=0 (2n + 1)!
∞ (−1)n
x2n
P
cos x = x∈R
n=0 (2n)!
∞ α(α − 1) · · · (α − n + 1)
(1 + x)α xn
P
= 1+ (α ∈ R) x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 n!
1 ∞ 1
xn
P
= n+1
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
a−x n=0 a
1 ∞ n+1
xn
P
= n+2
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)2 n=0 a
1 ∞ Ck−1
n+k−1
xn
P
= n+k
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)k n=0 a
∞ 1
xn
P
ln(1 − x) = − x ∈ [ −1 ; 1 [
n=1 n
∞ (−1)n−1
xn
P
ln(1 + x) = x ∈ ] −1 ; 1 ]
n=1 n
√ x ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
(−1)n−1
P
1+x = 1+ + x x ∈ ] −1 ; 1 [
2 n=2 2 × 4 × · · · × (2n)
1 ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
(−1)n
P
√ = 1+ x x ∈ ] −1 ; 1 [
1+x n=1 2 × 4 × · · · × (2n)
∞ (−1)n
x2n+1
P
Arctan x = x ∈ [ −1 ; 1 ]
n=0 2n + 1
∞ 1
x2n+1
P
Argth x = x ∈ ] −1 ; 1 [
n=0 2n + 1
P∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
Arcsin x = x+ x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
(−1)n
P
Argsh x = x+ x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
Développements limités usuels en 0
x x2 xn
ex = 1+ + + ···+ + O xn+1
1! 2! n!
x3 x2n+1
sh x = x+ + ···+ + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
ch x = 1+ + + ···+ + O x2n+2
2! 4! (2n)!
x3 x2n+1
+ · · · + (−1)n
sin x = x− + O x2n+3
3! (2n + 1)!
x2 x4 x2n
+ · · · + (−1)n
cos x = 1− + + O x2n+2
2! 4! (2n)!
α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx + x + O xn+1
x + ···+
2! n!
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O xn+1
1−x
x2 x3 x4 xn
ln(1 − x) = −x − − − − ···− + O xn+1
2 3 4 n
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + O xn+1
1+x
x2 x3 x4 xn
+ · · · + (−1)n−1 + O xn+1
ln(1 + x) = x− + −
2 3 4 n
√ x x2 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
+ · · · + (−1)n−1 x + O xn+1
1+x = 1+ −
2 8 2 × 4 × · · · × 2n
1 x 3 2 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
+ x − · · · + (−1)n x + O xn+1
√ = 1−
1+x 2 8 2 × 4 × · · · × 2n
x3 x2n+1
+ · · · + (−1)n
Arctan x = x − + O x2n+3
3 2n + 1
x3 x2n+1
Argth x = x + + ···+ + O x2n+3
3 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
Arcsin x = x + + ··· + + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1
1 x3 1 × 3 × · · · (2n − 1) x2n+1
+ · · · + (−1)n
Argsh x = x − + O x2n+3
2 3 2 × 4 × · · · × 2n 2n + 1
x3 2 17 7
th x = x− + x5 − x + O x9
3 15 315
1 2 17 7
tan x = x + x3 + x5 + x + O x9
3 15 315
2
Développements en série entière usuels
∞ an
eax xn
P
= a ∈ C, x ∈ R
n=0 n!
∞ 1
x2n+1
P
sh x = x∈R
n=0 (2n + 1)!
∞ 1
x2n
P
ch x = x∈R
n=0 (2n)!
∞ (−1)n
x2n+1
P
sin x = x∈R
n=0 (2n + 1)!
∞ (−1)n
x2n
P
cos x = x∈R
n=0 (2n)!
∞ α(α − 1) · · · (α − n + 1)
(1 + x)α xn
P
= 1+ (α ∈ R) x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 n!
1 ∞ 1
xn
P
= n+1
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
a−x n=0 a
1 ∞ n+1
xn
P
= n+2
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)2 n=0 a
1 ∞ Ck−1
n+k−1
xn
P
= n+k
(a ∈ C∗ ) x ∈ ] −|a| ; |a| [
(a − x)k n=0 a
∞ 1
xn
P
ln(1 − x) = − x ∈ [ −1 ; 1 [
n=1 n
∞ (−1)n−1
xn
P
ln(1 + x) = x ∈ ] −1 ; 1 ]
n=1 n
√ x ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 3) n
(−1)n−1
P
1+x = 1+ + x x ∈ ] −1 ; 1 [
2 n=2 2 × 4 × · · · × (2n)
1 ∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n
(−1)n
P
√ = 1+ x x ∈ ] −1 ; 1 [
1+x n=1 2 × 4 × · · · × (2n)
∞ (−1)n
x2n+1
P
Arctan x = x ∈ [ −1 ; 1 ]
n=0 2n + 1
∞ 1
x2n+1
P
Argth x = x ∈ ] −1 ; 1 [
n=0 2n + 1
P∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
Arcsin x = x+ x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
∞ 1 × 3 × · · · × (2n − 1) x2n+1
(−1)n
P
Argsh x = x+ x ∈ ] −1 ; 1 [
n=1 2 × 4 × · · · × (2n) 2n + 1
