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.T
+L{




Intégrales impropres

K:iRouC

0.1 Intégrales de fonctions continues par morceaux
0.1.1 Dêflnitions
a et b sont des réels tels que a ( b.


1Subdivision : Une subdivision de [a, Ô] est une suite a : (eo, art " ' , an) d'élê-
ments de [a,b] telle que o : a,o I at 1 "' 4 an:$.

Fonction continue par morceâux :

. sur un segrnent : Une fonction T , Io,b] -+ K est continue par morceaux
si et seulement s'il existe une subdivision de la,b) o : (oo, a1-t"',o,) telle que
Vk e [1, nn, fl]or-r,o*1, 1a restriction de f àlox-r,o6[soit prolongeable par continuité
en une fonction /6 continue sur laa-1,47.] ; on dit que o est associêe (ou adaptée) à /.

. sur un intervalle quelconque I : [Jne fonction f : I -+ K est continue par
morceaux sur I si et seulement si / est continue par morceaux sur tout segment de -I.

CM(I,K) l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur l est un K-espace
vectoriel.
V(À,.f,s) € K x CM(I,K)', À.f * g €Ci4(I,K).
Intêgrale d'une fonction continue par morceaux : Soit f , lo,Ô] -+ K
continue par morceaux et o : (ao, a1.t. . . , o,r) une sutrdivision de [4, b] adaptêe à /.
L'intégrale de / sur [4,, b] est



,tùor: l^'
u@0,
l"u E
1. H. BOMMIER,, PSI*' Jean Perrin, 14-15
0.1.2 Propriêtés
Linéarité

xCM(I,K)', (À/(t) +s(t)) dt: fu
V(À,,f,e) € K
Jo rft)a,* rofu s(t)dt.
À
/,
Croissance de l'intêgrale :
Soit / e CM(la,bl,IR) telie que Vl e [a,b], f O)> 0; alors t! tttlm > 0. .

Soit (/, s) e CM([a,b],lR)2 telles que Vt e la,q, fO) < g(t); alors f fft)dt <
Ë sç1at.
Fonctions complexes
soit / e cM(la,bl,c); Ët(ùat: Ëwr(ùat+ fls/(r)dr.
Relation de Chasles
Soit/eCM(1,1R.), )
y(a,b,c) e r3, ,tùor: 1,"
r(t)dt* l"u
r(ùdt.
l_u
Inêgalité de la moyenne : Si a ( b,

V f e CM([o, b], K), l,' rovrl. I"'vl)tdt.
0.1.3 Dérivabilitê d'une primitive
Théorème fondamental de l'analyse : Soient I e CM(I,K), a e 1.
o F : r r+ [: f G)dt est continue sur .L
o f'est dérivable à gauche et à droite en tout point r de I et
r[@): ,tu- ro)
p,o@):,IiT /(t).

Si / est continue en r, F est dêrivable en r et F'(r): f {").

A.2 Intêgrale impropre, convergence
O.2.L Définition
o Soient o € IR, b e IR., e1b, / continue par morceaux sur [a,b[, à vaieurs rlans
K. On définit F : [o, b[-+ K par F(r) : [i f @at.
Si F a une limite dans K à gauche en b, f intê grale Ë f!)d'tconverge et
.lbrî
J, f lt)at: I,_,ï J" ttt)au
 Si .F n'a pas de limite dans K à gauche en ô, l'intégrale de / sur [a, ô[ diverge.

r Soient a € iR, be IR, e4b, /continue parmorceauxsur ]o,b], àvaleursdans
K. On définit, lorsque cette limite existe
fb fb
re)d,L: liç ttùar.
J" J,
O.2.2 Exemples de référence
o Intégrales de Riemann : a est un réel.

t:*#convergessia>1
[]$co""urgessi a<l
. [] wtat converge
. Â*- e-otdt converge ssi ffia > 0 et dans ce .us /o*- e-otd,t: *
0.2.3 Intêgrales de fonctions positives : théorèmes de comparaison
Thêorème : Soient f et g deux fonctions continues par morceaux de [a,b[dans
lRtellesque0<T<9.
(1) Si fls@at convergeT alors f î(t)dt converge et


o s- J,fu f"''(L)d,L -= Jo
fo -"
s(t)dt.

(2) Si l'intégrale de / sur [a, b[ diverge, alors l'intégrale de g sur [a, ô[ diverge et
r:L r:r
Yr e la,ul, [(t)dt <
J, J, s(üat.
Thêorème : Soient T et g deux fonctions continues par morceaux de [a, b[ dans
IR.+, telles que, au voisinage de b, f- g. Alors les intêgrales de / et g sur [a, â[ sont
de même nature.


O.2.4 Changement de variable
Théorème : Si rp :la',b'l-+)a,b[ est une bijection strictement croissante de
classe C1 et si f :la,bl-+ K est cpm ators fi (1 o ç)(t)ç'(t)dt converge si et seulement
st fi f @)a?, converge , et dans ce câs
rb' 7b
I U"@ft)ç,@at: JoI
Ja'
f(u)du.
 Si p :]a,', b'l-+]b,a[ est une bijection strictement décroissante de classe C1 et si
f :]a,bl-+ K est cpm alors tltf " Q(t)ç'Q)at converge si et seulement si Ë f @)a"
converge , et dans ce cas


,t oç)(t)e'(t)dr:
l,'' Iu f @)d,u.

0.2.5 Intêgration par parties
Théorème : Soient f et g deux fonctions de classe C1 sur f d'extrémitês a,b,
-oo ( a {b ( +oo. Si le produit J x g ades limites finies en aetb, alors Ies
intêgrales généralisée* Ë, f'@)g(u)d,u et fi 1fu)s'(u)d,u sont de même nature'
Si elle convergent,

rb : 7b

I
Ja
T t")o' {")du V @)g@)12 - Ja
J"
r' @)s(u)du,

où lf(u)s(u)]| : Ii-,* olf (ùg(")) - Iim,*o [/(")g(")]

0.3 Intêgrales absolument convergentes
Dêfinition : Soit / continue pâr morceaux sur [o, b[, à valeurs dans K.
/ a une intégrale absolument convergente sur [o, b[
e t:lf(t)ldtconverse
<+ / est intégrable sur [a, Ô[.



Théorème : Soit / continue par morceaux sür [o, b[, a valeurs dans K. Si I'inté-
grale de / sur [a, b[ est absolument convergente, alors elle est convergente et

lrb I rb
r@d.tl<
lJ" J, utùtat
Une intêgrale convergente mais non atrsolument convergente est semi-convergente.



0.3.L Thêorèmes de comparaison
Théorême: Soient et g cpmsur I:la,b[, où a<b ( +oo.
f
. Si l/l < lgl, alors i'intégrabilité de 9 entraîne celle de / sur 1.
o Si au voisinage de b, /(f) : O(g(t)), alors I'intégrabilité de g entraîne celle de /
sur 1.
o Si au voisinage d,e b, f (t) - g(t), alors I'intêgrabilité de / équivaut à f intégrabilitê
de .q sur 1.
a.




0.3.2 Propriétés
to*o'u'r,e : si , .t intêgrable sur 1, alors
""
, î:::ï: è f :osur1.
J,lf@ldt:o
o Comparaison avec les intégrales de Riemann
a) Soit / continue par morceaux sur [4, +oo[.
1f) S'if existe a > ltelque, quand ttend vers +oo, f $): O (#), alors ff* 11çt11at
converge.
(2) S'il existe a { Ltel que, limt-++* f f (t) : / avec I > 0 ou I : *oo, alors I'inté-
grale de / diverge sur [4, foo[.

b) Soit / continue par morceaux sur ]0, a].
(1) S'il existe a ) 1 tel que, quand ü tend vers 0, liml,-yst"f(t) : I avec I > 0 ou
I : *oo, alors l'intêgrale de / diverge sur ]0, a].
(2) S'il existe a 1L tel que, quand t tend vers 0, T(t): O(#), alors filt(t)lat
converge.

e L1(I,K), l'ensemble des fonctions continues par morceaux intégrables sur 1, est
un K-espace vectoriel.

V(À,,f,e) €Kx C1(1,K)2, ItU *e) : À[ t *
Jr' Jr JtS,
o Relation de Chasles Soient I'et J des intervalles tels que 1 U J soit un
intervalle et f f-l J est vide ou réduit à un point. Si / est intêgrable sur f et sur J,
alors / est intégrable sur Iu J et {rutf : [rf + [rf .
o Inêgalitê de la moyenne Soit / intégrable sur 1, on a
lr I r
lJ,rl= Jyt
0.3.3 Changement de variable
Thêorème : Soient -I un intervalle de IR., 1'un intervalle de lR. d'extrêmitês notées
a', b', g un Cl-difféomorphisme de f' sur .I, et / continue par morceaux sur I'
./ est intégrable sur 1si et seulement si (/o g)g' est intégrable sur 1', et dans ce cas

r: ,o, uor)r',
fo _ fu
Jo'
où a :liml;o, ç(t) et b:limt-u,g(t).

A.4 Intégrales dépendant d'un paramètre
O.4.L Continuitê sous Ie signe somme
Théorème : Soient I et J deux intervalles de lR non réduits à urr point.
Soit/:1x-i-+K
 (r,t) r+ f (*,t).
On suppose :
o ./ continue par rapport à r et continue par morceaux par rapport à f,
r il existe une fonction ç : J -+ IR+, continue par morceaux et intégrable vérifiant
I'hypothèse de domination

Y(r,t) e I x J, lf @,t)l<ç(t).
Alors Ia fonction g, définie par g(r): [rf (r,t)dt, est continue sur -[.

Corollaire : cas où I'hypothèse de domination est locale.
Soient I et J deux intervalles de lR. non réduits à un point.
Soit/:1x.I-+K
(r,t) r+ f @,t).
On suppose :
o .f continue par rapport à r et continue par morceaux par rapport à t,
. pour tout segment K C 1, il existe une fonctior gx : J -+ R-l-, continue par
morc€aux et intégrable vérifiant

Y(r,t) e K x J, lf@,ùl < p*(t).
Alors la fonction g, dêfinie par g(r): {rf (r,t)d,t, est continue sur 1.


Corollaire : cas où l'intervalle d'intégration est un segment 1 : la,b)
Soient 1 un intervalle de IR 4on rêduit à un point.
Soit / : I x J J K, continue.
(r,,t) r+ T@,t)
Alors la fonction g, définie par g(r): [tf @,t)dt, est continue sur 1.



O.4.2 Dêrivabilité sous le signe somrne : thêorème de Leibnitz
Thêorème : Soient Iet J deux intervalles de IR non rêduits à un point.
Soit /:1x J-+K dêrivable parrapport à r.
(r,t) + T@,t)
On suppose :
o Vz € I, f (r,.) est continue par morceaux, intégrable sur J,
. ff est continue par ïapport à r et continue paï morceaux par rapport à t,
o ff vérlfre une hypothèse de domination : il existe une fonctiorr g : J -+ IR+,
continue par moreeaux et intégrable vérifiant

v(z,r) €rx r,lfla,,)l <e(rl
Alors Ia fonction g, définie par g(r): [, f (r,t)dt, est de elasse C1 sur 1et
vr e I, s'(r):
lrffA,tto,
 Corollaire : extension aux dêrivées successives oit l: .I x J -r K
(r,t) r+ l@,t).
On suppose :
r Vr e I, f (*,.) est intêgrable sur*J, ! i. .. .:,. ;i:1.. - ! i :.. ...ii:+
r les dérivêes partiellet ff, . . .,# existent, sont continues pâr rapport à x, eiconti-
nues par morceâux par rapport à t,
.^X,- ,l# vérifient une hypothèse de domination: vj € [1,kn, iI existe une fonc-
tion rpi : J -+ IR+, continue par morceaux et intêgrable verifiani

Y(r,t)€ r x r,
lffi u,ül = *,vl
Alors
Vrtrl, oTr*,
=
A.Lr,.),.
..,
orf ,

a*r@, ')
sont intégrables sur J

et Ia fonction g, définie par 9(r) : f, f @,ü)dü, est de classe Ck sur f et

vl e {1, ...,k}, vr e r, n!){g:
lr#,r",t)dt.