Intéressons-nous ce soir à l'algorithme qui vient de tomber ce mois de mars 2014 à l'épreuve de Mathématiques commune aux BAC 2013 STI2D et STL spécialité SPCL.
Il s'agissait donc de l'exercice 3 noté sur 5 points, dans le contexte des suites et de la radioactivité - un beau sujet à coloration transdisciplinaire... à priori
Ce sujet provient du site de l'APMEP, et j'ai corrigé ce que je pensais être quelques erreurs de retranscription ou lecture du document transmis - avec lesquelles le problème n'avait pas de sens.Question 1)Une baisse de 8,3% correspond à un coefficient multiplicateur de
$mathjax$1-\frac{8,3}{100}=1-0,083=0,917$mathjax$
.
Donc:
u
1=0,917×u
0=0,917×10
6=97,202×10
6u
2=0,917×u
1=0,917×97,202×10
6=89,123234×10
6Question 2)On généralise:
u
n+1=0,917×u
nIl s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme u
0=10
6 et de raison q=0,917.
Question 3)Donc u
n=u
0×q
n=10
6×0,917
n.
Question 4)Nous traduisons la question en une inéquation:
$mathjax$u_n≤\frac{10^6}{2}$mathjax$
$mathjax$10^6×0,917^n≤\frac{10^6}{2}$mathjax$
$mathjax$0,917^n≤\frac{\frac{10^6}{2}}{10^6}$mathjax$
$mathjax$\ln\left(0,917^n\right)≤\ln\left(\frac{10^6}{2×10^6}\right)$mathjax$
$mathjax$n×\ln(0,917)≤\ln\left(\frac{1}{2}\right)$mathjax$
$mathjax$n≥\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,917)}$mathjax$
car
$mathjax$\ln(0,917)<0$mathjax$
puisque 0<0,917<1
Or,
$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,917)}\approx 7,99959$mathjax$
d'après la calculatrice.
Donc,
$mathjax$n≥8$mathjax$
.
C'est-à-partir de 8 jours que la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
Question 5)a)Cet algorithme est conçu autour d'une boucle 'tant que'.
Il utilise deux variables: u et n.
La variable u est initialisée à u
0=10
6 et modifiée dans la boucle selon notre relation de récurrence de la question 2). La variable u représente donc le nombre de noyaux d'iode.
La variable n initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang associé à la valeur de la variable u.
La condition de poursuite de la boucle 'tant que' est
$mathjax$u>\frac{10^6}{2}$mathjax$
.
Cela veut donc dire que l'algorithme se termine en sortie de cette boucle sur la réalisation de la condition contraire:
$mathjax$u≤\frac{10^6}{2}$mathjax$
, c'est-à-dire lorsque la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
L'algorithme affichant alors n, il s'agit du temps de demi-vie dont parlait la question 4).
Question 5)b)Si on avait compris la question précédente, la réponse était ici évidente : le programme affichera 8, résultat de la question 4).
Si l'on n'avait pas traité la question précédente, on pouvait programmer l'algorithme sur sa calculatrice et recopier la réponse. C'était aussi une possibilité de contrôle du résultat, que nous allons détailler maintenant.
Voici les programmes pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/Voyage, Casio Graph/Prizm, HP-39gII/Prime et Casio Classpad fx-CP.
Et ils nous confirment bien que la réponse est 8.Question 5)c)Je cite:
Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3%.
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de 108 noyaux?
Alors là on touche le fond...
Visiblement, l'auteur du sujet a dans l'idée de nous faire apporter deux modifications à l'algorithme:
- remplacer le coefficient multiplicateur 0,917 par autre chose (voir plus loin)
- remplacer la valeur initiale 106 par 108
Or, la demi-vie d'un isotope radioactif est spécifique à cet isotope et ne dépend absolument pas de la taille de l'échantillon étudié.
On se moque complètement de savoir qu'il y a 106 ou 108 noyaux, information sur laquelle l'auteur insiste pourtant bien avec son "sachant que"... Reprenez votre programme en question 5)b) et remplacez les deux occurrences de 106 par 3.14×1042, vous obtiendrez exactement le même résultat !
Nous avons donc en gros trois choix:
- nous comporter en élève bête qui veut son BAC : on écrit les bêtises que l'on pense que l'auteur du sujet attend sans rien dire
- nous comporter en élève intelligent doté d'esprit critique : on écrit ces mêmes bêtises mais en signalant que ça ne colle pas dans le style "la bonne réponse est [...] mais je pense que l'énoncé s'attend à [...]"
- nous comporter en élève pédant : on répond 'correctement' à ce problème bancal, au risque de ne pas avoir les points
C'est le deuxième choix que j'adopterai ici, car le but est quand même de décrocher le BAC. Je déconseille le troisième choix.Le césium 137 diminue donc chaque année de 2,3%.
Le coefficient multiplicateur associé est donc
$mathjax$1-\frac{2,3}{100}=1-0,023=0,977$mathjax$
.
Voici donc l'algo modifié en fonction de ce que l'auteur attend:
- Code: Select all
Variables:
n et u sont des nombres
Initialisation:
Affecter la valeur 0 à n
Affecter la valeur 10^8 à u (**)
Traitement:
Tant que u>10^8/2 (**)
n prend la valeur n+1
u prend la valeur u×0,977 (*)
Fin tant que
Sortie:
Afficher n
(*) ligne modifiée
(**) ligne modifiée inutilement, juste pour faire ce que l'auteur du sujet et sa correction attendent probablement...
Vous apportez les mêmes modifications au programme ci-dessus pour vérifier que votre algorithme est bon et obtiendrez cette fois-ci 30 jours.Au final un exercice avec une idée originale et intéressante, exercice qui aurait pu être réussi et sortir positivement du lot... mais qui illustre parfaitement sur sa fin ce qu'un enseignant de Mathématiques ne doit pas faire lorsqu'il conçoit un problème.
Donner un contexte concret pour rendre un problème mathématique intéressant, c'est bien.
Mais pour que les élèves adhèrent complètement et aussi par honnêteté, c'est ce contexte qui doit amener le problème et non l'inverse... Sinon c'est une construction totalement artificielle et qui risque donc de devenir bancale, ce qui est le cas ici.
On a en effet l'impression que l'auteur est dans une démarche contraire: il est parti de ce qu'il voulait voir modifier dans l'algorithme pour se demander seulement ensuite quelle histoire il pouvait bien coller dessus, visiblement sans réflexion ou connaissance suffisamment approfondie sur le phénomène physique choisi.
Or, cette dernière question injecte dans l'esprit des candidats une représentation fausse du phénomène de radioactivité comme quoi la demi-vie radioactive dépendrait de la taille de l'échantillon initial...Téléchargement :
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