Aujourd'hui, faisons un petit peu d'algorithmique.
Nous allons nous intéresser au sujet de maths du BAC S qui vient de tomber en novembre 2012 en Nouvelle Calédonie (hémisphère sud, le calendrier scolaire est donc décalé), sujet qui n'est donc pas dans tes annales papier éditées au mois d'août.
Ce dernier comportait une partie algorithmique à la fin de l'exercice 1 qui portait sur les fonctions et les suites, et reste donc entièrement d'actualité pour le nouveau programme 2013:
Il s'agit donc d'un algorithme calculant de façon itérative les termes d'une suite u définie par la donnée de son 1er terme 4 et par la relation de récurrence un+1=5ln(un+3).
C'est justement comme par hasard la suite étudiée dans le début de l'exercice!
La variable u joue ici le rôle du terme un.
La boucle 'tant que' s'arrête dès que la condition de répétion u-14,2<0 devient fausse, c'est-à-dire dès que u-14,2≥0, soit u≥14,2.
L'algorithme s'arrête donc au premier terme un≥14,2 et l'affiche.
Or, il a été démontré en partie A et B que la suite u convergeait vers α≈14,23.
Donc à partir d'un certain rang, on obtient un≥14,2.
L'algorithme s'arrête.
Là encore, petit truc sympa: la 2ème question demande ce qu'affiche l'algorithme et il n'y avait aucun besoin de comprendre ou traiter la question précédente pour y répondre - il suffit de traduire l'algorithme en un programme pour sa calculatrice et de recopier!
Voici le programme pour l'ensemble des calculatrices graphiques TI-73 à TI-84, ainsi que l'affichage produit:
La réponse à la question serait donc 14,22315.
Voici maintenant le programme pour l'ensemble des calculatrices Casio Graph et Casio Prizm fx-CG et l'affichage produit:
Là encore 14,22315.
Voici enfin le programme pour TI-Nspire, et son exécution sur une TI-Nspire CAS:
Ah... petit problème sur TI-Nspire CAS: le programme affiche une valeur exacte et non une valeur décimale approchée, ce qui nous empêche de répondre à la question.
Il y a plusieurs moyens de contourner cela - voici par exemple une modification du programme qui a l'avantage de tourner à la fois sur TI-Nspire numérique et sur TI-Nspire CAS:
Autre problème maintenant: la TI-Nspire nous répond 14,2231 et l'on devrait donc écrire à 10-5 près 14,22310 ce qui est faux pour le dernier chiffre. La calculatrice ne nous a même pas affiché une valeur approchée mais une troncature à 10-4.
Consultons les propriétés par défaut de notre document avec:
- sur clavier TouchPad:
- sur clavier ClickPad:
Nous remarquons immédiatement la cause du problème: notre document a été créé par défaut avec un affichage de 6 chiffres significatifs.
Nous allons donc changer ça - mais comme la calculatrice semble ne pas toujours afficher un arrondi au sens où on le définit au collège mais parfois une troncature et comme c'est un arrondi que l'on nous demande, ne le passons pas à 7 chiffres mais par sécurité à 8 chiffres significatifs:
Après toutes ces péripéries, voici enfin un résultat utilisable pour répondre à la question:
Voilà 14,22315 encore une fois.
A bientôt!
Lien:
Sujet Maths BAC S Nouvelle Calédonie novembre 2012
