Stage révision gratuit Spé Maths BAC 2025 avec Casio !

[parisse]

Centre étranger https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Etranger_s ... 025_DV.pdf
exo 1 suites,
Partie A pas besoin de calculatrice
Partie B
plotseq(-0.05*x^2+1.1*x,6,10) affiche graphiquement la suite récurrente, on voit qu'on va converger vers un point fixe, intersection de la 1ere bissectrice et du graphe, vers 2. On quitte le graphique et on a les 10 premières valeurs de la suite.
solve(-0.05*x^2+1.1*x=x) confirme que 2 est le point fixe.
Partie C
A: solve(6*0.93^x<3) puis shift F6 pour avoir une valeur approchée (10)
B: n=6 (affichage de plotseq)
B.3 avec la limite
B.4: Il y a une erreur d'énoncé qui a échappé aux concepteurs (et qui n'a pas été relevée par les rédacteurs du corrigé sur le site de l'apmep)! En effet le script ne pourra pas déterminer l'année à partir de laquelle B est supérieur à A, mais la première année telle que B est supérieur à A. Pour répondre à l'énoncé, il faudrait une justification complémentaire, vérifier que v_n>=u_n pour les indices suivants et on s'arrête lorsque u_n<2 qui est la limite de v_n.
Ensuite le plus rapide est d'utiliser l'application Suite de la calculatrice et de faire afficher le tableau de valeurs des deux suites récurrentes.

Exercice 2:
1/(a+exp(-b*x))=>f
f(x=0) renvoie 1/(a+1) et vaut 1/2 donc a=1.
Remarque: limit(f,x,oo) renvoie undef et un warning, car pour déterminer la limité, il faut ajouter l'hypothèse de l'énoncé b>0, en tapant sur la touche VARS (ou var sur Numworks) on sélectionne assume, et on saisit assume(b>0), on valide, on remonte dans l'historique et on recopie la limite qui renvoie maintenant 1/a, d'où a=1.
On remonte et on recopie la définition de f avec a remplacé par 1
1/(1+exp(-b*x)) => f
f'=>f1
f1(x=0) renvoie b/4
pente(droite(point(0,0.5),point(10,1))) renvoie .5e-1 soit 0.05 donc b=0.2 ou 1/5 (pour faire du calcul formel mieux vaut une valeur exacte), valeur donnée dans la suite de l'énoncé (toujours utile de lire un peu plus loin dans un sujet de bac...), on peut redéfinir f
1/(1+exp(-1/5*x)) => f
f'=>f1
Partie B
On a déjà calculé la limite
tabvar(f) et on extrait la partie sur x>=0
solve(f=0.97) renvoie 17.38... entre 17 et 18

Partie C:
integrate(f)
Q3: Deuxième erreur d'énoncé, il manque un - dans l'exponentielle de l'énoncé!
1/40*integrate(f,x,0,40.0)
Noter le 40.0 qui est une borne donnée en approché de l'intégrale, ce qui donne directement un résultat numérique approché. Si on met 40 au lieu de 40.0 on a le résultat exact, dans l'éditeur d'expression appuyer sur le curseur vers le haut et faire shift F6 (ou shift 6 sur la Numworks) pour avoir une valeur approchée.

Exercice 3: pas vraiment besoin de CAS ici...
64^4
perm(64,4)
63^4
64^4-63^4
4*63^3
comb(4,2)*63^2

partie B
binomial(250,1/100,0) donne la valeur exacte mais trop longue à recopier! Il faut donc donner la formule.
binomial(250,0.01,0) donne 0.81..e-1 soit 0.081
1-binomial_cdf(250,0.01,17) renvoie .13e-9 donc oui

partie C:
4*mean(binomial,250,0.01) renvoie 10
4*stddev(binomial,250,0.01)^2 renvoie 9.9

Exo 4:
point(1,0,3)=>A
point(-2,1,2)=>B
point(0,3,2)=>C
equation(plan(A,B,C)) renvoie le double de l'énoncé donc on a correctement saisi A, B et C.
plan(3x-3y+2z-9=0)=>P
plan(x-y-z+2=0)=>P1
inter_unique(P,P1)=>D
est_orthogonal(P,P1) renvoie 0 les plans ne sont pas orthogonaux
parameq(D) renvoie une équation paramétrique de D [(10t+1)/2,(10*t-1)/2,3] donc [10/2,10/2,0] est vecteur directeur, donc [1,1,0] aussi
subst(equation(P),[x,y,z],[2,1,3]) renvoie 0=0, de même pour P1
subst(equation(plan(A,B,C)),[x,y,z],parameq(D)) puis F1 simplify on obtient 0=0 donc D est bien dans le plan ABC
On peut voir la figure en tapant P,P1,plan(A,B,C),A,B,C,D

[parisse]

Un script qui répond à la question B.4 de l'exo 1 du sujet précédent:

Code: Select all

u=6
v=6
n=0
N=-1
while u>1.86:
    if v>u:
        if N==-1:
            N=n
    else:
        N=-1
    u=0.93*u
    v=v*(-0.05*v+1.1)
    n=n+1
print(2025+N)


Comme v>2, en sortie de boucle u>=1.86 donc le u précédent est <=2, on a fini par au moins une itération où v>u, donc N!=-1. Et là on s'est bien assuré que pour *tous* les indices>=N, on a v>u.
Bien entendu, il reste plus simple ici de vérifier à la main les indices à partir de 13 jusqu'à ce que u<=2.

[parisse]

métropole 17 juin, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metro_J1_17_06_2025_DV.pdf
(j'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs!)

exo 1: tout le début se fait avec une calculatrice scientifique, ensuite on gagne un peu de temps avec
binomial_cdf(100,0.0714,7) donne 0.577
stddev(binomial,100,0.0714)=>S, l'écart-type vaut 2.57.. puis S^2 la variance donne 6.63...
S/sqrt(N) => s
va servir ensuite pour Bienaymé-Tchebycheff, on veut P(|X-7.14|>=0.14)<0.05, on pose 0.14=a*s, il suffit que 1/a^2=0.05, solve([1/a^2=0.05,a*s=0.14],[a,N]) qui renvoie 4.47 et N=6766

exo 2: partie A un peu pervertie pour l'utilisation du CAS
On commence par saisir la valeur de f donnée en partie B
x*(2*ln(x)^2-3*ln(x)+2) => F
puis on vérifie qu'elle correspond au graphe de la partie A
plot(F,x=0..3)
on ajoute la tangente en 1
G:=plot(F,x=0..3); TA:=tangent(G,1)
equation(TA) nous renvoie y=-x+3 permet de vérifier qu'on passe par le point C, le coefficient directeur -1 donne f'(1)
F'=>F1, on vérifie F'(x=1)
On vérifie que solve(F1=0) renvoie 2 solutions 1/exp(1) et exp(1/2) et on calcule
F1'=>F2
puis F2(x=0.2)

Partie B:
ssolve(2X^2-3X+2,X)
limit(F,x,oo)
limit(F,x,0) (admis dans l'énoncé)
simplify(F2)
solve(F2>0) renvoie

Partie C:
equation(tangente(G,e)) ok
integrate(x*ln(x),x,) pour vérifier la primitive et integrate(x*ln(x),x,1,e) pour vérifier l'énoncé
integrate(F-(2x-e),x,1,e) renvoie 3*exp(1)^2/4-(4*exp(1)+5)/4
en mettant 1.0 au lieu de 1 on a une valeur numérique 1.57... et on peut juger si c'est vraissemblable en comparant à l'aire de la partie hachurée sur l'énoncé.

Exercice 3:
point(-1,0,5)=>A
point(3,2,-1)=>B
point(0,0,0)=>O
affirmation 1:VRAI B-A renvoie les coordonnées du vecteur directeur de AB et on compare avec celui de l'équation paramétrique, qui passe en t=0 par B. Attention une droite admet plusieurs représentations paramétriques, parameq(droite(A,B)) ne donne pas la même équation que celle de l'énoncé.
affirmation 2: FAUX
equation(plan(O,A,B)) renvoie -10*x+14*y-2*z=0 donc vecteur normal au plan (-10,14,-2) non colinéaire au vecteur n
affirmation 3: VRAI
on voit que les 2 droites ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires)
on teste si elles sont sécantes
solve([15+k=1+4s,8-k=2+4s,-6+2],[k,s]) renvoie [[-4,5/2]] donc oui, donc coplanaires
affirmation 4:
point(2,-1,2)=>C
distance(plan(x-y+z+1=0),C) renvoie 2*sqrt(3)
on peut aussi le faire de tête en remplaçant les coordonnées de C dans l'équation du plan (6) et en divisant par la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x,y,z (norme du vecteur normal, sqrt(3))

exo 4: partie A
-0.02*x^2+1.3*x=>H
H(x=1) nous donne u1=1.28
solve(H=x) nous donne L=15 (et L=0 mais exclus ici)
Question 3.a: je ne vois pas trop comment on peut faire sans avoir calculé la valeur de la limite L, ce qui n'est pas demandé à la question 2.b
L'algorithme demandé ne vole pas très haut, c'est vraiment pour dire qu'on en a mis un, ça ne sert à rien de le coder sur la calculatrice.

partie B:
la résolution de 1 à la machine est un peu technique, il vaut mieux le faire sans la calculatrice d'autant plus que la réponse est donnée, voici comment on pourrait vérifier
eq:=diff(y(t),t)=0.02*y(t)*(15-y(t))
numer(equal2diff(subst(eq,y(t)=1/f(t)))
affiche -diff(f(t),t)-0.3*f(t)+0.02
sans condition initiale desolve(y'=-3/10*y+2/100) renvoie (15*c_0*exp(-3*x/10)+1)/15
avec condition initiale desolve([y'=-3/10*y+2/100,y(0)=1])=>g renvoie (14*exp(-3*x/10)+1)/15
puis on inverse 1/g=>f
puis on vérifie limit(f,x,oo) on retrouve L de la partie A
solve(f>14) renvoie x>(10*ln(196)/3)

[parisse]

métropole jour 2, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_ ... 025_DV.pdf
exo 1 proba/stats: pour cet exercice, une calculatrice scientifique suffit, sauf pour A5b/ ou ce serait fastidieux
binomial_cdf(100,0.24,20,100) ou 1-binomial_cdf(100,0.24,19)

exo 2:
1/ solve([3/2+2t=s,2+t=3/2+s,3-t=3-2s],[t,s]) renvoie [[-1,-1/2]] donc t=-1 (et s=-1/2), les droites sont bien sécantes et
subst([3/2+2t,2+t,3-t],t=-1)=>S (attention S n'est pas un point géométrique mais la liste de ses coordonnées)
2/ point(-1,2,1)=>A
point(1,-1,2) => B
point(1,1,1) => C
[1,2,4] => n
(B-A)*n renvoie 0 (la différence de 2 points est le vecteur les reliant, et * entre 2 vecteurs calcule le produit scalaire)
(C-A)*n renvoie 0
donc n est normal
subst(x+2y+4z,[x,y,z],coordonnees(A)) renvoie 7, c'est la bonne constante
3/ subst(x+2y+4z,[x,y,z],S) renvoie 35/2 donc S n'est pas dans le plan ABC
4a/ [-1,0,2]=>H, H-S renvoie [-1/2,-1,-2] soit -n/2 et subst(x+2y+4z,[x,y,z],H) renvoie 7.
4b/ distance(H,S) renvoie (sqrt(21))/2

B/ coordonnees(C)=>c
c+k*(S-c)=>M
(M-coordonnees(A))*(M-coordonnees(B))=>eq
solve(eq=0,k) renvoie list[(-6*sqrt(14)+12)/45,(6*sqrt(14)+12)/45], ou numériquement
fsolve(eq=0,k), il y a une solution sur le segment (k=0.76...)

Exo 3
1/ faux (Evident!) pour vérifier limit((1+5^n)/(1+3^n),n,oo) -> +infinity
2/ N.B.: w_0==0 donc faux sur l'énoncé de l'apmep en lien, mais sur le vrai sujet on a inégalité large, donc c'est vrai
On peut calculer l'expression explicite de w_n ici
rsolve(w(n+1)=3*w(n)-2n+3,w(n),w(0)=0)
renvoie [n+3^n-1]
du coup si on a des doutes avec les inéquations, on peut montrer par récurrence que w_n=n+3^n-1 et conclure puisque 3^n-1>=0.
3/ c'est concave en A
4/ tabvar(ln(x)-x+1)
N.B. inégalité large sur le vrai sujet.
Donc vrai

exo 4: partie A lecture graphique, pas besoin de la calculatrice sur cet énoncé rescapé de graphique du siècle dernier. Mais en exclusivité ici, comme on n'a pas besoin de justifier dans cette partie, je vous explique comment le résoudre avec des outils du 21ème siècle. Il suffit de lire l'énoncé jusqu'au bout pour obtenir l'expression de d:
(12+x)*exp(-3/5*x) =>v
integrate(v,x,0,t) => d
plot(d,t=0..15) permet de reproduire la figure
fsolve(d=15,t=2) renvoie 2.02..., en lecture graphique 2
limit(d,t,oo) renvoie 205/9 soit environ 22.8
v(x=4.7) vaut 0.99... donc en lecture graphique 1

partie B
1a/ desolve(y'+3/5*y=0) ou desolve(y'+0.6*y=0) pour les étourdis
1b/ desolve(y'+3/5*y=exp(-3/5*t))
1c/ desolve([y'+3/5*y=exp(-3/5*t),y(0)=12]) (ou desolve(y'+3/5*y=exp(-3/5*t) and y(0)=12])
renvoie t*exp(-3*t/5)+12*exp(-3*t/5)
Ou en approché desolve([y'+0.6*y=exp(-0.6*t),y(0)=12])
renvoie t*exp(-0.6*t)+12.0*exp(-0.6*t)
1d/ Pour trouver v sans se fatiguer à dériver, on peut utiliser l'équation différentielle

2/ v'=>v1
normal(v1) renvoie le résultat de l'énoncé en exact
limit(v,x,oo) renvoie 0, on s'en doutait puisque d converge (graphiquement ou vers 205/9)
tabvar(v,x=0..oo)
fsolve(v=1,x=4.7)=>T permet de vérifier le résultat de la partie A (à recopier en 2d et 3)

partie C: les calculs ont déjà été faits:
normal(d)
d(t=T) renvoie 20.94...
on vérifie sur le graphique l'ordonnée du point A