[Exercices Maths Laurae #4] Prépa #1

[Laurae]

Dernière mise à jour : 27/06/2013
Bonne lecture !

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Nous avançons cette fois vers des espaces vectoriels bidons.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Exercice 4.png

(adapté à partir d'un sujet de concours)


Meilleures réponses :
- Hayleia : viewtopic.php?f=67&t=12573#p145011

[Hayleia]

En fait, dans ta méthode je changerais juste le début.

On sait que le polynôme caractéristique est det(A-t*I), donc en suivant ces étapes:
•c1+c2+c3+c4→c1
•factorise par (3-t+n)
•c1-c2→c1
•développement du det par rapport à c1
•Sarrus sur le déterminant d'ordre 3
on trouve que ce polynôme est (au signe près, mais de toute façon ce qui nous intéresse c'est ses racines): (t-(n+3))*t³

On étudie donc Esp(0). on suppose que (a,b,c,d) appartient à Ker(An), et on a que (a,b,c,d)=(-b-c-dn,b,c,d) donc dim(Ker(An))=3.

Ensuite effectivement j'étudierais les cas n=-3 et n≠-3 comme tu l'as fait.

Ma méthode est plus longue, mais elle me semble plus claire et moins "coup de chance". Donc si on veut appliquer le "on ne change pas une méthode qui gagne", ma méthode est mieux, mais question efficacité, je conviens que la tienne est beaucoup mieux.

[nikitouzz]

hum....

on apprend autant de trucs en prepa et en fac (maths) ?

[Laurae]

:O hum....

on apprend autant de trucs en prepa et en fac (maths) ?

Tu veux apprendre quoi sinon ? (c'est pas à la carte )

[diot]

nikitouz, faudra bien que tu passe par l'un des deux.

[Lionel Debroux]

En prépa, on réalise le gavage des élèves avec encore beaucoup plus de choses inutiles qu'en fac... et les élèves s'empresseront d'oublier tant de ces choses qui ne leur serviront jamais.

[Bisam]

On peut éviter presque tout calcul avec le raisonnement suivant :

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Les 4 colonnes de la matrice An sont proportionnelles à la 1ère qui est non nulle donc le rang vaut 1 donc, par le théorème du rang, on en déduit que le noyau est de dimension 3. Par conséquent, 0 est valeur propre de multiplicité au moins 3.

Pour connaître la dernière valeur propre, on utilise la trace qui est la somme de toutes les valeurs propres et qui vaut n+3. Ainsi la dernière valeur propre vaut n+3.

Si n=-3, la valeur propre 0 est de multiplicité 4, différente de la dimension du noyau donc An n'est pas diagonalisable.
Sinon, n+3 est forcément de multiplicité 1 et 0 de multiplicité 3, valeurs des dimensions des espaces propres respectifs, donc An est diagonalisable.

On peut même trouver une base de diagonalisation presque sans calcul également...

C'est le même type de raisonnement que celui de Laurae, mais il montre que l'on connaît parfaitement son cours car on utilise beaucoup de notions reliées les unes aux autres. De plus, il évite le résultat "parachuté" en 1ère ligne de la réponse de Laurae... même si ici, c'est plutôt évident !

[diot]

En prépa, on réalise le gavage des élèves avec encore beaucoup plus de choses inutiles qu'en fac... et les élèves s'empresseront d'oublier tant de ces choses qui ne leur serviront jamais.

pourquoi penses-tu qu'on apprend des choses inutiles en prépa ?