Exercices sur les intégrales triple

[Laurae]

Je bloque sur deux exercices sur les intégrales triples.

Voici l'énoncé du premier exercice :
Démontrer que l'intégrale suivante I est égale à 1/5 : I=∫∫∫D|x²-y²| dx dy dz tel que D={(x,y,z) appartenant à R^3 | x²+y²<=z², 0<=z<=1)
Je ne sais pas trop par quoi commencer : j'ai une petite idée sur un passage dans d'autres coordonnées (intuition) en cylindriques ou sphériques mais qui ne me satisfait pas (peut être qu'il faut un changement de variables mais je ne vois pas où)

Enoncé du second exercice :
Caractétiser E : E={(x,y,z) appartenant à R^3 | x²/a²+y²/b²+z²/c²<=1}, puis démontrer que son volume V = (4/3)pi*a*b*c en introduisant la boule de rayon 1 et de centre O.
Là je bloque dés le début : je ne vois pas à quoi correspond E. Ensuite pour le volume, vu que c'est un exercice sur les triples intégrales, il doit bien y en avoir une ici pour le calcul du volume, mais je ne vois pas comment faire... (mon intuition me dit de faire un changement de variables mais par laquelle ? cylindrique ? sphérique ? affine en utilisant la notion de déterminant d'un endomorphisme ? je suis quasiment sûr que c'est l'une des trois méthodes, mais je ne sais pas remplacer par quoi les variables). Par contre par rapport à la boule, je n'ai pas de problème, c'est : ∫(∫(∫(sin(theta) dtheta) dphi) dr) = 4/3*pi*r^3, en l'espèce pi*4/3. Donc il faudrait pouvoir remonter de cela vers le début mais refaire le chemin inverse (peut être ?).

Peut être que Bisam sait

[Bisam]

Pour la première, tu peux faire un changement de variables en cylindriques, mais je ne suis même pas sûr qu'il soit indispensable. Il faudra de toutes façons jouer sur les symétries pour se débarrasser de la valeur absolue.
Dans cette première intégrale, tu intègres sur un cône (posé sur sa pointe).

Pour la 2ème, l'espace d'intégration est un ellipsoïde (une sphère qu'on aurait aplatie dans 2 directions perpendiculaires).
L'idée du changement de variables affine pour se ramener à la sphère me paraît tout-à-fait judicieuse... mais ensuite, inutile de se retaper les calculs du volume de la sphère : on connaît le résultat !

[nikitouzz]

Tiens laurae on se fais aider en maths ?

[Laurae]

Tiens laurae on se fais aider en maths ?

Tu nous démontres le "théorème 3x+1" ? (ce n'est pas un théorème)

Pour la première, tu peux faire un changement de variables en cylindriques, mais je ne suis même pas sûr qu'il soit indispensable. Il faudra de toutes façons jouer sur les symétries pour se débarrasser de la valeur absolue.
Dans cette première intégrale, tu intègres sur un cône (posé sur sa pointe).

Pour la 2ème, l'espace d'intégration est un ellipsoïde (une sphère qu'on aurait aplatie dans 2 directions perpendiculaires).
L'idée du changement de variables affine pour se ramener à la sphère me paraît tout-à-fait judicieuse... mais ensuite, inutile de se retaper les calculs du volume de la sphère : on connaît le résultat !

Pour la première j'ai approfondi le changement de variables en cylindriques, et ça semble fonctionner (j'ai certainement du faire une erreur en l'essayant au début).
En gros à ce que j'ai pu voir l'astuce c'est de faire sortir le blabla en valeur absolue et l'isoler.
Donc ça fait en isolant |cos(2theta)|: I = ∫(|cos(2theta)|, dtheta, 0, 2pi) ∫(∫(r^3, dr, 0, z), dz, 0, 1)
On a immédiatement ∫(|cos(2theta)|, dtheta, 0, 2pi) = 4
Par conséquent le facteur de 4 vaut : ∫r^3, dr, 0, z) = (z^4)/4 et alors ∫((z^4)/4, dz, 0, 1) = 1/20
Et donc on a : I=∫∫∫D|x²-y²| dx dy dz = 4*1/20 = 1/5


Pour la seconde, ça m'a pas sauté aux yeux directement que c'était une ellipsoïde en regardant l'énoncé je me demande qu'est-ce que la boule de rayon 1 et de centre 0 faisait dans l'histoire
La solution était bien un changement de variables affine (au début je pensais du type y=ax+b, et de fait je bloquai à cause de l'ordonnée et de la boule de rayon 1 et centre 0 qui contredisait ce que je concevais), on retrouve même la formule de volume de la boule. En réalité l'énoncé donne la solution.
Si on pose : x=ab, y=cd, z=fg
On a : V = acf∫∫∫S db dd dg = (4/3)*pi*acf
On retrouve donc bien le résultat attendu (à quelques noms de variables près).
Si on veut retrouver le résulat attendu, on pose : x=au, y=bv, z=cw et on trouve V = abc∫∫∫S du dv dw = (4/3)*pi*abc

Donc tes idées étaient justes, il fallait juste que j'approfondisse ces idées là