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[Nspire Pack BAC Tutorial #8] - Intégration.tns

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[Nspire Pack BAC Tutorial #8] - Intégration.tns

Unread postby Laurae » 31 Aug 2010, 13:39

Voici dans ce huitième tutorial l'utilisation complète du fichier de Intégration.tns inclus dans le Nspire Pack BAC.

Version du tutorial : Septembre 2010


Tutoriel #1 : Analyse
Tutoriel #2 : Complexes
Tutoriel #3 : Equation du second degré
Tutoriel #4 : Equations dans l'espace
Tutoriel #5 : Equations Diophantiennes
Tutoriel #6 : Equations Logarithmes
Tutoriel #7 : Equations de tangente
Tutoriel #8 : Intégration
Tutoriel #9 : Statistiques
Tutoriel #10 : Votre cours et "Sheets"

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Que peut donc faire un tel classeur ?
Voici toutes ses fonctions dans l'ordre où elles sont proposées dans le classeur :
- Ensemble des primitives d'une fonction
- Calcul d'une primitive vérifiant une condition initiale
- Caclul d'intégrale détaillée
- Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle non infini
- Recherche de moyen d'intégration (9 moyens différents) : polynôme, produit, racine carrée, quotient, inverse, exponentielle, sinus, cosinus, intégration par parties


Maintenant, comment utiliser ces fonctions dans ce classeur ?


inte1(f) - Primitives

Cette fonction permet de déterminer toutes les primitives de la fonction f.
Exemple : Déterminer les primitives de 2x+3/x^2.
Image
(avec la constante k réelle)


inte2(f,x0,y0) - Primitive unique

Cette fonction permet de déterminer l'unique primitive de f vérifiant F(x0)=y0.
Exemple : On veut la primitive de (2x-1)/sqrt(x) (fonction f) passant par le point (1,0) (1=x0, 0=y0).
ImageImage
Il suffit de remplacer k dans la primitive pour obtenir l'unique primitive passant par ce point.


inte3(f,a,b) - Intégrale de a à b

Cette fonction permet de calculer l'intégrale de f de a à b de manière détaillée :
- Primitive de f
- Explication de la manière de calculer l'intégrale
- Calcul détaillé de l'intégrale
Exemple : Cacluler l'intégrale de 2x+x^2 (fonction f) de 0 (0=a) à 1 (1=b).
ImageImage


inte4(f,a,b) - Valeur moyenne de a à b

Cette fonction réalise d'abord la même chose que inte3 mais rajoute à la suite le calcul détaillé de la valeur moyenne de la fonction f de a à b :
- Rappel de la formule de la valeur moyenne sur un intervalle
- Calcul détaillé de la valeur moyenne
Exemple : Calculer la valeur moyenne de (cos(x))^2 (fonction f) de 0 (0=a) à 2*pi (2*pi=b).
ImageImage


intepart(u',v,z,i1,i2)

Cette fonction est la fonction la plus compliquée de ce classeur. Il faut faire attention à ce qu'on rentre comme valeurs en tant qu'arguments. Une mauvaise manipulation conduit automatiquement à une erreur de calcul ou à des calculs impossibles.
Cette intégration par parties passe par le calcul de primitive, ce qui n'est généralement pas le cas lorsque l'on veut seulement la valeur de l'intégrale.

La fonction présente 5 arguments à rentrer :
- Argument u' : C'est la fonction dérivée dont on doit pouvoir avoir accès facilement à sa primitive. Il ne faut pas utiliser comme variable x. Il faut utiliser t à la place. Multipliée par l'argument v, c'est la fonction f qu'on obtient.
- Argument v : C'est la fonction dont on doit pouvoir calculer la dérivée facilement. Il ne faut pas utiliser comme variable x. Il faut utiliser t à la place. Multipliée par l'argument u', c'est la fonction f qu'on obtient.
- Argument z : C'est la valeur qui sera utilisée pour simplifier les calculs. Utilisez si possible une valeur où la fonction f s'annule. L'utilisation d'une valeur autre que celle-ci alourdira légèrement les calculs (ou pourra même compliquer les calculs).
- Argument i1 : Valeur de la borne gauche de l'intégrale.
- Argument i2 : Valeur de la borne droite de l'intégrale.

Informations présentes dans le classeur : Calcule et détaille l'intégration par parties de la fonction f(x)=u'*v sur l'intervalle i1,i2 et précise l'intégrale de f(x)=u'*v de i1 à i2. Il se peut qu'il faut faire deux intégrations par parties successives (non supporté). Rentrer u' et v en fonction de la variable t. z doit être un réel tel que u'*v s'annule pour des raisons de simplification.

Exemple géant : Calculer l'intégrale de 1 à e de la fonction ln(x).
Etape 1 : Identifier u' et v. Il est évident de prendre ln(x) en tant que v (on ne connait pas la primitive de ln(x) mais on connait sa dérivée), et donc de prendre alors 1 en tant que u' (on peut dériver ou intégrer 1 sans problème, mais on n'a pas le choix car ln(x) sera la fonction dérivée et alors 1 sera la fonction à intégrer). u'=1, v=ln(x)
Etape 2 : Identifier z si possible. ln(x) s'annule en 1, donc on peut prendre z=1.
Etape 3 : Identifier les bornes de l'intégrale : Ici, i1=1 et i2=e.
Etape 4 : Ecrire tout cela sur la calculatrice. Pour les deux premiers arguments, il ne faut pas oublier de remplacer "x" par "t". Les autres arguments n'ont pas de problèmes particuliers.

Voici ce que votre calculatrice renvoie :
ImageImage
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Intégration pour les débutants : Recherche de primitives

Cette section est spécialisée pour les débutants qui veulent chercher les primitives d'une fonction de manière intuitive. Pour cela, 8 fonctions sont présentes :
- Polynôme intuitif
- Produit dérivé intuitif
- Racine carrée dérivée intuitif
- Quotient dérivé intuitif
- Inverse dérivé intuitif
- Exponentielle dérivée intuitif
- Sinus dérivé intuitif
- Cosinus dérivé intuitif
Ces fonctions ne fonctionnent que pour des cas simples où l'une de ces intuitions fonctionne à coup sûr, et qu'il n'y a pas de seconde étape à faire. Le résultat vrai est toujours donné, pour que intuitivement vous trouvez le bon moyen qui fonctionne au second essai.

Note pour toutes les fonctions : Tant que le facteur constant reste un nombre (et non pas n'importe quoi avec des variables), la formule de la racine carrée dérivée à l'envers fonctionne correctement, à un facteur constant près. Dans tous les cas, la formule associée à la fonction est explicitée.


intepoly(f) - Polynôme intuitif

Cette fonction permet de donner la primitive de f sachant que c'est un polynôme et que la formule est explicitée.
Exemple : Rechercher une primitive de 2*x^2+3*x.
On remarque que c'est un polynôme du second degré. On peut appliquer la formule d'intégration pour les polynômes quelconques.
Image
Notre intuition d'utiliser cette fonction semble juste. On peut appliquer tout simplement la formule.

Note : Cette fonction donnera toujours la primitive de f dans n'importe quel cas lorsque cela est possible (on peut même ne pas rentrer un polynôme...) sans raisons particulières.


inteprod(u',u,n) - Produit intuitif f(x)=u'*u^n

Cette fonction permet de donner la primitive de la fonction f(x) = u'*u^n et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un produit de deux facteurs, l'un étant la dérivée de l'autre sans puissance n, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de 2*x*x^2.
On peut remarquer que cette fonction est sous la forme u'*u^n, avec u'=2*x et u=x^2. On peut essayer tester ce produit :
ImageImage
Intuition juste. La formule peut être appliquée directement.


interoot(u',u) - Racine carrée intuitive f(x)=u'/sqrt(u)

Cette fonction permet de donner la primitive de la fonction f(x) = u'/sqrt(u) et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un quotient avec un dénominateur sous racine carrée, dont la dérivée sans la racine carrée est le nominateur, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de 3/sqrt(x-1).
On peut remarquer que la fonction est probablement sous la forme u'/sqrt(u), avec u'=3 et u=x-1. On peut essayer cette fonction :
ImageImage
Intuition juste à un facteur constant près.


intequot(u',u) - Quotient intuitif f(x)=u'/u

Cette fonction permet de donner une primitive de la fonction f(x) = u'/u et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un quotient avec un dénominateur d ont la dérivée est le nominateur, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de 2/(x-1).
On peut essayer pour voir u'=2 et u=x-1. Le facteur constant sera probablement 2.
Image
Intuition juste, avec 2 comme facteur constant près.


inteinve(u',u,n)- Inverse intuitif f(x)=(-n*u')/u^(n+1)

Cette fonction permet de donner une primitive de la fonction f(x) = (-n*u')/u^(n+1) et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un quotient avec un dénominateur à la puissance n, dont la dérivée est le nominateur, à un facteur de degré constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de (-4*(-12x^3-6x))/(x^4+x^2+1)^4.
Le degré est facilement visible : 4. On peut voir aussi que -12x^3-6x est "un degré en-dessous" de x^4+x^2+1. On peut essayer les valeurs suivantes :
- u' = -12x^3-6x
- u = x^4+x^2+1
- n = 4
ImageImage
Intuition juste.


inteexpo(u',u) - Exponentielle intuitive f(x)=u'*e^u

Cette fonction permet de donner une primitive de la fonction f(x) = u'*e^u et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un produit d'exponentielle dont la dérivée est le facteur à l'extérieur de l'exponentielle, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de 3x^2 * e^(x^3).
Probablement sous la forme u'*e^u, on peut essayer u'=3x^2 et u=x^3.
ImageImage
Intuition juste.


intesint(u',u) - Sinus intuitif f(x)=u'*sin(u)

Cette fonction permet de donner une primitive de la fonction f(x) = u'*sin(u) et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un produit par sinus dont la dérivée est le facteur à l'extérieur de sinus, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de sin(5x).
Que voulez-vous essayer d'autre que intesint avec u'=1 et u=5x ?
ImageImage
Intuition juste.


intecost(u',u) - Cosinus intuitif f(x)=u'*cos(u)

Cette fonction permet de donner une primitive de la fonction f(x) = u'*cos(u) et que la formule est explicitée.
Information du classeur : Donne une primitive de f sachant que la fonction f est sous la forme d'un produit par cosinus dont la dérivée est le facteur à l'extérieur de sinus, à un facteur constant près.
Exemple : Rechercher une primitive de -4*cos(x).
On n'a pas d'autres fonctions à utiliser autre que celle-ci, avec u'=-4 et u=x.
Image
Intuition juste.
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