by Version du tutorial : Septembre 2010
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Que peut donc faire un tel classeur ?
Voici toutes ses fonctions dans l'ordre où elles sont proposées dans le classeur :
- Recherche d'une équation paramétrique passant par deux points
- Vérification si un point appartient à une droite d'équation paramétrique
- Détermination de l'intersection de 2 plans à partir de leurs équations de plan
- Détermination de l'intersection de 3 plans à partir de leurs équations de plan
- Détermination de l'intersection d'un plan d'équation de plan et d'une droite d'équations paramétriques
- Distance entre un point et une droite dans le plan
- Distance entre un point et un plan dans l'espace
- Détermination de l'équation du plan passant par 3 points en passant par l'utilisation d'un vecteur normal et utilisant les propriétés de l'orthogonalité du plan à ce vecteur normal
- Détermination de l'équation du plan passant par 3 points en passant par un système linéaire à 3 équations
Maintenant, comment utiliser ces fonctions dans ce classeur ?
para1(xa,ya,za,xb,yb,zb) - Equation paramétrique
Cette fonction permet de déterminer l'équation paramétrique dela droite passant par les deux points A(xa,ya,za) et B(xb,yb,zb).
Par exemple, on considère deux points :
- A(1/2 ; 0 ; 3/2)
- B(2 ; -3 ; 5/2)
On recherche l'équation paramétrique de la droite (AB).
Pour cela, on peut utiliser la fonction para1(...) avec comme arguments :
- xa = 1/2 (abscisse de A)
- ya = 0 (ordonnée de A)
- za = 3/2 (côte de A)
- xb = 2 (abscisse de A)
- yb = -3 (ordonnée de A)
- zb = 5/2 (côte de A)
Donc on doit écrire sur la calculatrice : para1(1/2,0,3/2,2,-3,5/2)
Pour déterminer l'équation paramétrique, on peut passer par un vecteur directeur AB et utiliser la définition de la représentation paramétrique d'une droite connaissant un vecteur directeur, puis utiliser un des deux points fixes pour déterminer les constantes. C'est la méthode utilisée par le programme de la calculatrice.
Voilà ce qu'affiche la calculatrice :
para2(xk,yk,zk,xm,ym,zm) - Point sur une droite
Cette fonction permet de vérifier si le point M(xm,ym,zm) appartient à la droite de système d'équations paramétriques (xk,yk,zk), k étant la variable de ces équations paramétriques.
Reprenons l'exemple précédent.
On souhaite vérifier si le point M(-1 ; 3 ; -11/2) appartient à la droite (AB) d'équations paramétriques suivantes :
- x = 1/2 + 3/2 *k
- y = -3 *k
- z = -3/2 + 4 *k
Les arguments a rentrer pour la fonction sont :
- xk = 3/2 * k + 1/2 (équation en x de la droite)
- yk = -3 *k (équation en y de la droite)
- zk = -3/2 + 4 *k (équation en z de la droite)
- xm = -1
- ym = 3
- zm = -11/2
Ce qui fait sur la calculatrice : para2(3/2*k+1/2,-3*k,-3/2+4*k,-1,3,-11/2)
La méthode utilisée par la calculatrice pour vérifier si un point appratient à une droite est la vérification que xk=xm, yk=ym, zk=zm aboûtissent chacunes au même résultat. Si c'est le même résultat pour les 3 équations, le point appartient à la droite, sinon elle n'appartient pas à la droite si il y a un résultat qui s'écarte des autres.
Le point appartient bien à la droite. Les trois équations x=xm y=ym z=zm aboûtissent toutes au même résultat k=-1. C'est-à-dire que si on remplace k par -1 dans le système d'équations paramétriques de la droite, on tombe sur le point M(-1;3;-11/2).
Prenons un autre point pour exemple : M(7/2 ; -6 ; 11/2)
Les seuls arguments à changer sont xm, ym, et zm :
- xm = 7/2
- ym = -6
- zm = 11/2
Une valeur de distingue des deux autres k=2 : k=7/4. Cela veut dire que le point n'appartient pas à la droite.
para3(eq1,eq2) - Intersection de deux plans
Cette fonction permet de déterminer les équations paramétriques de l'intersection de deux plans d'équations eq1 et eq2.
Cela est fait par la résolution du système {eq1=0 ; eq2=0}, en posant z=k pour avoir x en fonction de k et y en fonction de k. Le système obtenu n'a alors que deux inconnues x et y en fonction de k, qui peut être résolu d'une manière normale.
Le programme est capable de détecter si les deux plans sont confondus (les mêmes équations multipliées par une constante), si les deux plans sont parallèles (seul la constante d de ax+by+cz+d=0 varie pour chacunes des équations), et si les deux plans se coupent en une droite.
Prenons par exemple deux plans :
- P: 2x+y-2z-3=0 (eq1)
- P': x+y+3z-2=0 (eq2)
et cherchons les équations paramétriques de la droite qui est l'intersection de P et P'.
Le programme rajoute d'office "=0" à la fin de chacune des équations eq1 et eq2. Il suffit alors de ne rentrer que :
- à la place de eq1 : 2*x+y-2*z-3
- à la place de eq2 : x+y+3*z-2
Et alors la calculatrice vous répondra...
La droite intersection de P et P' a pour équations paramétriques :
- x = 5*k +1
- y = -8*k + 1
- z = k
avec k réel.
Un autre exemple :
- P: 3x-y+2z-5=0 (eq1)
- P': -6x+2y-4z-3=0 (eq2)
Demandons à la calculatrice l'intersection de P et P' :
- eq1 : 3*x-y+2*z-5
- eq2 : -6*x+2*y-4*z-3
Et alors...
En effet, si on multiplie eq2 par (-1/2), on obtient eq1 différent d'une constante près.
-6x+2y-4z-3 *-1/2 = 3x-y+2z+3/2 (ax+by+cz+d=0 - a=3, b=-1, c=2, d=3/2, seul d diffère par rapport à eq1)
para4(eq1,eq2,eq3) - Intersection de 3 plans
Cette fonction permet de trouver l'intersection de 3 plans chacun sous la forme ax+by+cz+d=0 en passant par un système de 3 équations à 3 inconnues qui sera trigonalisée. La calculatrice montre cette trigonalisation sous la forme de matrice destinée à une compréhension rapide mais FAUSSE en ajoutant x, y, et z aux colonnes pour mieux comprendre le fonctionnement de la matrice et comment la transposer en système d'équations.
Prenons par exemple 3 plans différents :
- P1: 2x+y-2z-3=0 (eq1)
- P2: x+y+3z-2=0 (eq2)
- P3: x+y-z-6=0 (eq3)
Il suffit de rentrer à la chaîne les trois équations (sans le "=0").
Compréhension des résultats :
- La calculatrice affiche les 3 plans sous la forme ax+by+cz=d, et non ax+by+cz+d=0.
- Première matrice (en haut à gauche des "carrés") : Cette matrice liste les 3 équations misent en jeu. Il suffit dans votre tête de rajouter des "+" entre les espaces vides et un "=" au dernier espace vide pour chaque ligne. Exemple deuxième ligne : x y 3z 2 devient x+y+3z=2. Les trois lignes forment un système de 3 équations à 3 inconnues.
- Deuxième matrice (en haut à droite des "carrés" et en bas à gauche des "carrés") : Cette matrice liste le système d'équations paramétriques trigonalisée : c'est-à-dire que la première ligne à 3 inconnues (x+y+3z=2), la deuxième ligne à 2 inconnues (0x+y+8z=1), la troisième ligne à 1 inconnue (0x+0y+z=-1). Ce système est obtenable manuellement en additionant/soustrayant les équations une par une.
- Troisième matrice (en bas à droite des "carrés") : C'est la matrice après résolution du système d'équations. La première ligne est x=-4, la deuxième ligne est y=9, et la troisième ligne est z=-1. Ce résultat est explicitement écrit dans la ligne en-dessous de toutes ces matrices.
Voilà donc comment utiliser et interpréter les résultats de ce petit programme qui a l'air compliqué mais qui ne l'est plus (dés qu'on a compris le contenu des "carrés"). Attention, seules 3 étapes sont explicitées, les calculs entre chacunes des étapes est implicite. Si vous êtes dans un niveau supérieur, vous comprendrez pourquoi la matrice est dite "fausse" car il n'y a pas de trace des inconnues x y et z dans les matrices lors de la résolution rref (Reduced Row Echeloned Form) d'une matrice.
para5(eq1,eq2x,eq2y,eq2z) - Intersection d'un plan et d'une droite
Reprenons la droite d'équations paramétriques suivantes (dans le para3) :
- x = 1+5*k (eq2x)
- y = 1-8*k (eq2y)
- z = k (eq2z)
On cherche l'intersection de cette droite au plan d'équation x+y-z-6=0 (eq1).
La calculatrice affiche d'abord les équations misent en jeu (l'équation du plan et le système d'équations paramétriques de la droite).
4 équations et 4 inconnues existent : x,y,z,k. Les 4 équations forment un système à résoudre. La première inconnue fixée est k. En effet, on peut introduire x (eq2x), y (eq2y), et z (eq2z) dans l'équation du plan (eq1), ce qui donne une équation simple n'ayant que k comme inconnue.
Ensuite, vu que k est fixé, on peut introduire sa valeur dans eq2x, eq2y, et eq2z directement. On obtient alors les valeurs de x, y, et z.
L'intersection du plan et de la droite est le point (-4;9;-1).
Prenons un autre exemple :
- plan : 2x-y+z-5=0
- droite : x=3-2k, y=1-k, z=3k
Cherchons leur intersection si elle existe :
- eq1 : 2x-y+z-5
- eq2x : 3-2*k
- eq2y : 1-k
- eq2z : 3*k
Lorsqu'on essaie de résoudre ce système d'équations à 4 inconnues en commençant par l'inconnue k, on trouve que 0=0 et donc on retrouve de nouveau le système d'équations paramétriques de la droite (x=3-2k, y=1-k, z=3k, 0=0). Cela signifie que la droite est incluse dans le plan, donc l'intersection de ces deux objets et la droite elle-même.
dist1(eq,xm,ym) - Distance point-droite dans le plan
Cette fonction permet de donner la valeur exacte de la distance entre un point (xm,ym) et une droite d'équation ax+by+c=0 de manière assez détaillée.
Supposons qu'on cherche la distance la plus courte du point M(0;0) à la droite d'équation x+y+1=0.
eq : x+y+1 (équation de la droite sans le "=0")
xm : 0 (abscisse du point M)
ym : 0 (ordonnée du point M)
La formule est même rappelée dans le programme.
Le calcul est fait en deux étapes :
- Application toute simple de la formule (ici : |1|/sqrt(2))
- Résultat simplifié (ici : (sqrt(2))/2)
dist2(eq,xm,ym,zm) - Distance point-plan dans l'espace
Similaire à dist1, cette fonction donne la valeur exacte de la distance entre le point (xm,ym,zm) et le plan d'équation eq.
Prenons par exemple le fait qu'on veuille trouver la distance la plus courte entre M(0,0,0) et le plan d'équation x+y-z+2=0 :
- eq : x+y-z+2 (équation du plan sans "=0")
- xm : 0 (abscisse du point M)
- ym : 0 (ordonnée du point M)
- zm : 0 (côte du point M)
La formule utilisée est rappelé et le calcul se fait en deux étapes comme pour dist1.
plan1(xa,ya,za,xb,yb,zb,xc,yc,zc) - Trois points et un plan
Cette fonction permet de trouver l'équation du plan qui passe par A(xa,ya,za), B(xb,yb,zb), et C(xc,yc,zc), en passant par un vecteur normal et par l'orthogonalité du plan à ce vecteur.
Exemple : on veut le plan passant par A(-1;-1;0), B(2;0;4), et C(0;3;5).
- xa = -1
- ya = -1
- za = 0
- xb = 2
- yb = 0
- zb = 4
- xc = 0
- yc = 3
- zc = 5
Etapes :
- deux vecteurs : AB et AC
- orthogonalité d'un vecteur u(a,b,c) utilisée pour créer un système en résolvant a et b
- vecteur u en fonction de c
- application du produit scalaire (orthogonalité de deux vecteurs) : u.AM = 0 avec M(x-xa,y-ya,z-za)
- simplification et renvoi de l'équation du plan
Un autre exemple :
- A(1;0;0)
- B(0;1;0)
- C(0;0;1)
plan2(xa,ya,za,xb,yb,zb,xc,yc,zc) - Trois points et un plan
Cette fonction proche de plan1 et de para4 permet de trouver l'équation du plan passant par A(xa,ya,za), B(xb,yb,zb), et C(xc,yc,zc) en utilisant un système de 3 équations à 4 inconnues et un des points du plan.
Exemple : On veut trouver l'équation du plan passant par A(-1;-1;0), B(2;0;4), et C(0;3;5).
- xa = -1
- ya = -1
- za = 0
- xb = 2
- yb = 0
- zb = 4
- xc = 0
- yc = 3
- zc = 5
Pour apprendre à interpréter le contenu de ces matrices, voir la partie pour para4.
Etapes :
- traduction en un système de 3 équations à 4 inconnues
- résoudre a,b,c en fonction de d
- multiplier a par x, b par y, et c par z
- utilisation du point A pour déterminer d
- équation finale du plan
Autre exemple :
- A(1;0;0)
- B(0;1;0)
- C(0;0;1)
Le procédé est le même que celui d'avant.
