by Version du tutorial : Septembre 2010
Tutoriel #1 : Analyse
Tutoriel #2 : Complexes
Tutoriel #3 : Equation du second degré
Tutoriel #4 : Equations dans l'espace
Tutoriel #5 : Equations Diophantiennes
Tutoriel #6 : Equations Logarithmes
Tutoriel #7 : Equations de tangente
Tutoriel #8 : Intégration
Tutoriel #9 : Statistiques
Tutoriel #10 : Votre cours et "Sheets"
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Que peut donc faire un tel classeur ?
Voici toutes ses fonctions dans l'ordre où elles sont proposées dans le classeur :
- Etude rapide de variations d'une fonction (Dérivée développée/factorisée, intervalle de croissance et décroissance, extremum locaux et images des extremums)
- Limite à gauche et à droite, continuité
- Analyse de la position relative de deux courbes différentes et de leurs intersections
- Analyse de la parité d'une fonction (paire, impaire)
- Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre
- Calcul par étape de la dérivée n-ième d'une fonction
- Recherche rapide de solutions d'équations approchées et exactes lorsque cela est possible en même temps
- Recherche d'un axe de symétrie vertical
- Recherche du point de symétrie d'une fonction "connaissant" son abscisse ou son ordonnée
Maintenant, comment utiliser ces fonctions dans ce classeur ?
varia(f) - Analyse de variations
"f" représente la fonction que vous voulez étudier. Par exemple, si vous voulez étudier la fonction f(x) = 1/x + ln(x) :
Les résultats renvoyés sont donc :
- la fonction qu'on étudie
- sa dérivée développée
- sa dérviée factorisée quand c'est possible
- les intervalles où la fonction est croissante en résolvant f'(x)0
- les intervalles où la fonction est décroissante en résolvant f'(x)- ses extremums locaux correspondant aux abscisses où f'(x)=0
- les images (ordonnées) de ses extremums locaux
Dans cet exemple, la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]x;+Inf[, strictement décroissante sur ]-Inf;1[, et a sa dérivée nulle en x=1 (et son image est 1).
Attention : La fonction est bien uniquement décroissante sur ]0;1[ et non pas sur ]-Inf;1[ excluant 0 comme l'indique l'écran. Une simple manipulation permet de déterminer sur quel intervalle la fonction est décroissante :
Il ne faut pas se fier toujours à 100% des réponses de la calculatrice. En effet, la fonction qu'on a étudiée précédement à son ensemble de définition sur ]0;+Inf[ mais sa dérivée à son ensemble de définition sur ]-Inf;0[ and ]0;Inf[ d'où l'erreur lors de l'intervalle de décroissance.
limits(f,x0) - Limite et continuité
"f" représente la fonction mise en jeu, et x0 un endroit où vous voulez avoir la limite à gauche et à droite (ne pas essayer avec l'infini ça ne fonctionnera pas).
Supposons par exemple la fonction partie entière : voici un de ses graphes (floor(x) est la fonction partie entière).
Cherchons si la fonction est continue en 3.
Et non, la fonction partie entière n'est pas continue en 3 (cela ne veut pas dire qu'elle n'est pas continue du tout) :
- sa limite à gauche en 3 est 2
- sa limite à droite en 3 est 3
Le programme cherche si la fonction est continue en évaluant sa limite à gauche et à droite. Si elle est égale, la fonction est continue en ce point là. (barré et en rouge, voir plus bas pourquoi) Si elle n'est pas égale, la fonction n'est pas continue en ce point. Ici, la fonction partie entière n'est pas continue en 3.
Mais elle est par exemple continue en 2.5 :
Prenons un autre exemple : la fonction 1/(x^2). Voyons ses limites à gauche et à droite en 0.
Ses limites à gauche et à droite sont toutes deux +Inf.
Attention : Le programme affiche que la fonction est continue en 0, ce qui est impossible car le principe de continuité d'une fonction exclue les cas où les limites à gauche et à droite sont l'infini. La fonction 1/(x^2) n'est pas continue en 0.
posrel(f,g) - Position relative de deux courbes
"f" et "g" représentent chacunes deux fonctions différentes dont vous voulez étudier leurs positions relatives l'une à l'autre.
Supposons les fonctions suivantes à étudier :
- f(x) = sqrt(x^2-6x+5)
- g(x) = -x+3
Voici ce que crache la calculatrice (le graphe est réalisé manuellement) :
Le programme dit ceci :
- la fonction f(x)-g(x) pour étudier les positions relatives (supérieures à 0, inférieures à 0, égales)
- f au-dessus de g (f-g supérieur à 0)
- f au-dessous de g (f-g inférieur à 0)
- intersection de f et g (f-g égal à 0)
Avec le graphe, il semble donc bien que pour x supérieur ou égal à 5, f est supérieur à g, et pour x inférieur ou égal à 1, g est supérieur à f. f et g ne se coupent pas.
parite(f) - Parité de fonction
Cette fonctionalité permet de savoir si une fonction est paire, impaire, ou rien du tout de manière détaillée.
Une fonction est paire si et seulement si f(-x)=f(x).
Une fonction est impaire si et seulement si f(-x)=-f(x).
Etudions par exemple la fonction cos(x) qui est censée être paire :
Le programme nous dit bien que la fonction cosinus est paire mais pas impaire.
On peut faire un autre exemple avec la fonction sin(x) qui est censée être impaire :
On obtient bien les résultats qu'on veux : la fonction sinus est impaire mais pas paire.
eqdiff(a,b,d) - Equation différentielle
Cette fonction permet de résoudre les équations différentielles simples de la forme a*y'=b*y+d. Il est possible d'appliquer des variables aux variables a, b, et d, mais pas des fonctions (utiliser dans ce cas deSolve(...)).
Exemple :
On peut même utiliser des constantes.
Ces résultats se basent sur les équations différentielles présents dans le programme de Terminale S.
deriven(f,n) - Dériver plusieurs fois
Il est possible d'afficher toutes les étapes lorsqu'on veut dériver une fonction plusieurs fois, en montrant une par une les fonctions dérivées successives.
"f" est la fonction à deriver et "n" le nombre de fois qu'on doit dériver la fonction f.
finder(a,b) - Résolution approchée et exacte rapide (Nouveauté Septembre 2010)
a est le premier membre de l'équation et b le second membre.
Cela permet de résoudre numériquement et de manière exacte (lorsque cela est possible) l'équation a(x)=b(x).
Exemple : Résoudre si possible x^5+2*x^3-4*x=1 - a=x^5+2*x^3-4*x et b=1
A priori, il est difficile (ou impossible ?) de trouver les solutions exactes de cette équation.
Ce programme permet de bien montrer la difficulté de trouver les solutions de cette équation. En effet, la calculatrice (en mode exact) renvoiera des résultats comme si c'était en mode approché.
simline(eq) - Axe de symétrie vertical (Nouveauté Septembre 2010)
"eq" représente la fonction f(x).
Ce programme permet de rechercher et de trouver l'axe de symétrie vertical si il existe (sinon il renvoiera n'importe quoi comme résultat). Il y a aussi détection des fonctions paires, dont l'axe de symétrie sera l'axe des ordonnées.
Supposons qu'on recherche l'axe de symétrie de la fonction sqrt(x^2+3x-4). Voilà ce que renvoiera votre calculatrice :
"Axe de symétrie possible x=a : h=0 or a=-3/2" : Il faut interpréter ce résultat comme quoi l'axe de symétrie est formé par la droite d'équation x=a=-3/2 et non x=0.
Prenons une autre fonction : |x|/(x^2-1). Cette fonction est tout de suite vue comme une fonction paire (|x|=|-x|, x^2=(-x)^2).
Son axe de symétrie vertical est bien x=0.
Maintenant un exemple avec un résultat bidon : x^3
La calculatrice ne renvoie que "h=0" et pas de présence de "a". Il n'y a donc pas d'axe de symétrie.
En simple :
- lorsque la calculatrice renvoie quelque chose avec a=constante, l'axe de symétrie est x=a.
- lorsque la calculatrice ne renvoie que h=0 (ou a=n'importe quoi qui n'est pas constant), il n'y a pas d'axe de symétrie.
simdot1(eq,a), simdot2(eq,b) - Point de symétrie (Nouveauté Septembre 2010)
Ces deux fonctions permettent de rechercher et de trouver si il existe le point de symétrie d'une fonction. Cela nécessite alors une recherche visuelle de la fonction que vous voulez étudier, en trouvant soit son abscisse soit son ordonnée. En effet, la calculatrice sera apte à trouver le point de symétrie (si il existe) lorsque vous connaissez son abscisse ou son ordonnée (ou les deux si vous voulez vérifier vos résultats).
Prenons la fonction suivante : (x-4)/(x-2). Son étude graphique permet de conjecturer que le point de symétrie semble (2;1).
On a alors deux choix : utiliser soit simdot1, soit simdot2. simdot1 nécessite l'entrée de l'abscisse du point de symétrie alors que simdot2 nécessite l'ordonnée du point de symétrie. Par exemple, utilisons simdot2. L'ordonnée du point de symétrie est 1, alors la syntaxe du petit programme se fait sous cette forme :
(le premier arguement est la fonction, le second argument est l'ordonnée du point de symétrie)
La calculatrice à l'aide de l'ordonnée du point de symétrie a pu trouver son abscisse.
Un autre exemple. Prenons la fonction (x^2-5*x+6)/(x-1) (HAHA plus compliqué non ? en fait pas du tout).
Une recherche visuelle semble aboûtir que l'abscisse du point de symétrie est 1.
Trop difficile pour trouver l'ordonnée du point de symétrie ? La calculatrice vous aidera à trouver son ordonnée.
Cette fois, vu qu'on ne connait que l'abscisse du point de symétrie, on utilisera simdot1.
Voilà les résultats :
La calculatrice a su trouver l'ordonnée du point de symétrie qui est -3. Le point de symétrie a donc pour coordonnées (1,-3).
En résumé :
- simdot1(eq,a) est utilisable si vous connaissez l'abscisse du point de symétrie (la calculatrice cherche l'ordonnée)
- simdot2(eq,b) l'est aussi seulement lorsque vous connaissez l'ordonnée du point de symétrie (la calculatrice cherche l'abscisse)
Que se passe-t-il lorsqu'on rentre des valeurs bidons en abscisse ou en ordonnée ? voilà un exemple :
Une variable s'est introuduite dans le résultat. Il ne faut pas qu'il y ait de variable pour le point de symétrie, le résultat est totalement bidon. (3;1/(h+2)-1/(h-2)-1) n'est pas le centre de symétrie de la fonction.
