Résoudre équation laplacien

[bobby's]

Bonjour,
J'aimerais résoudre une équation classique de l'électrostatique :

$mathjax$\Delta V=0$mathjax$

où

$mathjax$\Delta$mathjax$

désigne le laplacien et

$mathjax$V$mathjax$

le potentiel électrostatique. Existe-t-il une commande pour résoudre directement cette équation en prenant compte des conditions aux limites ?
On peut également résoudre en développant ; dans le cas où

$mathjax$V=V(r)$mathjax$

en coordonnées cylindriques, on a

$mathjax$\frac{d^2V}{dr^2}+\frac{1}{r} \frac{dV}{dr}=0$mathjax$

avec des conditions aux limites de la forme

$mathjax$V(R_1)=V_1$mathjax$

et

$mathjax$V(R_2)=V_2$mathjax$

. J'ai essayé avec la commande deSolve mais j'obtiens "Erreur d'argument". Comment faire ?
Merci d'avance.

[Excale]

Tu as tapé quoi exactement dans desolve? L'erreur dont tu parles est souvent signe d'inversion des variables dans les arguments.

[bobby's]

J'ai tapé : deSolve(

$mathjax$\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r} \frac{dv}{dr}=0$mathjax$

and v(r1)=v1 and v(r2)=v2,r,v).

[Excale]

Code: Select all

deSolve(v''+((v')/(r))=0,r,v)

Ajoute les conditions initiales après.*

*ou bien attend 5 minutes que je retrouve comment le faire correctement

[Excale]

Apparemment, c'est pas possible de lui demander des conditions formelles pour cette équation.

Je te propose:

Code: Select all

deSolve(v''+((v')/(r))=0 and v(r1)=v1,r,v)

ce qui donne:

Code: Select all

v=r1*c22*ln(r)-r1*ln(r1)*c22+v1

Et ensuite,

Code: Select all

solve(v2=r1*c22*ln(r)-r1*ln(r1)*c22+v1,c)|c22=c and r=r2

ce qui donne:

Code: Select all

c=((v1-v2)/(r1*(ln(r1)-ln(r2))))

Et enfin:

Code: Select all

v=r1*c22*ln(r)-r1*ln(r1)*c22+v1|c22=((v1-v2)/(r1*(ln(r1)-ln(r2))))

ce qui donne:

Code: Select all

v=(((v1-v2)*ln(r))/(ln(r1)-ln(r2)))-((ln(r2)*(v1-v2))/(ln(r1)-ln(r2)))+v2

[Bisam]

On ne peut pas faire résoudre une équa diff à la calculette avec des "conditions aux limites" (notées CL, ci-après), mais seulement avec des "conditions initiales" (notées CI).
La raison mathématique est simple : avec des CI, il y a toujours des solutions lorsque l'équation est "pas trop moche", en revanche, même dans des cas linéaires simples, il peut très bien n'y avoir aucune solution avec des CL données.

Par ailleurs, il existe une méthode systématique (dans le cas linéaire et les cas qui s'y ramènent) pour les CI, mais pas pur les CL où il faut au cas par cas...

Bref, pour faire en sorte que ça marche, tu résous l'équa diff sans les CL, puis tu fais une résolution de système.

[bobby's]

Merci de vos réponses. Le problème c'est qu'on obtient un résultat beaucoup trop complexe. En le faisant à "la main", j'obtiens:

$mathjax$V= \frac{V_2-V_1}{ln(R_1/R_2)}ln(r/R_1)+V_1$mathjax$

Car pour résoudre :

$mathjax$\frac{d^2V}{dr^2}+\frac{1}{r} \frac{dV}{dr}=0$mathjax$

, je fais :

$mathjax$V=A \times ln(r/R_1)+B$mathjax$

(A et B étant des constantes), ce qui simplifie considérablement le résultat. Alors que la calculatrice donne :

$mathjax$V= A \times ln(r)+B$mathjax$

[Excale]

Merci de vos réponses. Le problème c'est qu'on obtient un résultat beaucoup trop complexe. En le faisant à "la main", j'obtiens:

$mathjax$V= \frac{V_2-V_1}{ln(R_1/R_2)}ln(r/R_1)+V_1$mathjax$

Car pour résoudre :

$mathjax$\frac{d^2V}{dr^2}+\frac{1}{r} \frac{dV}{dr}=0$mathjax$

, je fais :

$mathjax$V=A \times ln(r/R_1)+B$mathjax$

(A et B étant des constantes), ce qui simplifie considérablement le résultat. Alors que la calculatrice donne :

$mathjax$V= A \times ln(r)+B$mathjax$

Et ln(r/R1), ça fait ln(r) - ln(R1), c'est pour ça qu'elle fait comme ça.

(et on retrouve ton résultat avec r1 et r2 inversés)

[bobby's]

Ah oui, effectivement. Merci !!