Intégrale et continuité

[maestroarte]

Euh excusez moi de passer en hs mais je ne sais pas comment lancer un nouveau sujet sur fofo à partir de l'ipad.

[Edit de Bisam : Le sujet est maintenant divisé]

Voilà mon problème , je suis en train de réaliser un programme sur les intégrales, mais au début du prgm, la CX doit définir si la fonction entrée est continue sur un intervalle I.
Pour cela, je demande à calculer l'intégrale de la fonction sur I, et si le résultat est non réel j'en conclut que la fonction n'est pas continue sur I...

Je sors de 1èreS donc je ne sais pas comment étudier la continuité d'une fonction sur un intervalle donné, mais je sais le faire pour des points particuliers..
Ai-je tort avec mon système de résultat non réel de l'intégrale ? Si oui, comment calculer la continuité d'une fonction sur I sur CX CAS

Deuxième question, existe-t'il un programme pour Nspire calculant les primitives pas à pas? Je ne peux pas accéder à la liste des prgm sur l'ipad !

Merci à tous,
Maestroarte

[Bisam]

Répondons dans l'ordre.

1) Ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas continue sur un intervalle qu'elle ne possède pas d'intégrale sur cet intervalle (mais ce n'est pas au programme de Term)
2) Ce n'est pas parce que la calculatrice renvoie un résultat "Non réel" que l'intégrale n'existe pas et encore moins que la fonction n'est pas continue.
3) Pire : il peut arriver que la calculatrice renvoie un résultat (juste) pour le calcul d'une intégrale d'une fonction non continue... essaie par exemple d'intégrer 1/racine(x) entre 0 et 1...

Bref, ta méthode ne peut pas fonctionner.

Par ailleurs, il n'existe pas de méthode de calcul d'intégrales pas à pas, que ce soit sur calculatrice ou ailleurs... ou plus exactement, il en existe quelques-unes mais qui sont tellement compliquées qu'elles ne sont applicables que sur des ordinateurs puissants et que les résultats ne sont que rarement utilisables par des humains !

Enfin, pour déterminer si une fonction est continue sur un intervalle donné, il faut d'abord déterminer l'ensemble de définition de l'expression donnée puis vérifier la continuité aux différentes extrémités de cet ensemble de définition (je parle au niveau Lycée...)

[maestroarte]

Bisam, merci beaucoup! Okay, donc pour la continuité, si on prouve la continuité de f(x) sur ses bornes ça suffit? ^^' J'ai envie de dire " trop simple " ! Car la définition de la continuité sur [a,b] c'est que f(x) est continue en tout point compris entre a et b... je me voyais calculer une infinité de points


Et sinon, parfois il faut dire que la fonction est deux fois dérivables sur son intervalle pour l'intégration par partie... Peut-tu me donner un exemple d'une fonction qui n'est qu'une seule fois dérivable, j'en trouve pas ^^' et sinon, pour prouver que f est dérivable sur [a,b] il faut prouver que le quotient (que je ne réecrit pas, en gros, le quotient qui calcule la dérivée de f) admet une limite finie en a et en b, c'est ça?

Et pour prouver qu'elle est deux fois dérivable, on refait le même procédé j'imagine!


Merci pour ta réponse

[Bisam]

Alors, j'ai répondu un peu vite pour la continuité et tu m'as mal compris.

Tu as raison, on dit que f est continue sur l'intervalle [a,b] si f est continue en chaque point de cet intervalle.
Mais en pratique, on ne démontre jamais la continuité en chaque point.
En effet, on utilise des théorèmes qui nous disent que si la fonction est fabriquée à partir d'opérations comme +,-,*,/ ou de fonctions comme sin, cos, tan, exp, ln, etc... elle sera continue partout où elle sera définie.
Il ne restera plus que les endroits où la fonction a une définition bizarre.

Par exemple, la fonction f définie par f(x)=sin(x)/x si x est non nul et f(0)=1 est bien définie partout. Elle est continue en tout point x non nul par "opérations sur des fonctions que l'on sait être continues".
Elle est aussi continue en x=0, en appliquant la définition : la limite de f en 0 est égale à f(0).
Par conséquent, elle est continue sur R, mais on a seulement eu besoin de le vérifier en x=0.

Pour prouver qu'une fonction est dérivable... et bien, en fait, c'est presque exactement la même chose...sauf qu'il existe des fonctions usuelles qui ne sont pas dérivables partout où elles sont continues. Je pense en particulier à la fonction racine carrée.
Il faut donc faire des études particulières (en revenant à la définition utilisant la limite du taux d'accroissement) en certains points supplémentaires.

En tout état de cause, on ne démontre jamais qu'une fonction est dérivable en commençant par calculer sa dérivée !!

Enfin, pour l'intégration par parties, il suffit que les fonctions soient de classe C1, c'est-à-dire qu'elles soient dérivables et que leurs dérivées soient continues.
Mais je vais quand même te répondre quant à la dérivée seconde.
Il existe des fonctions qui sont dérivables 1 fois mais pas 2 en un point donné.
Par exemple, la fonction g définie par g(x)=x^2*sin(1/x) si x n'est pas nul et g(0)=0 est dérivable 1 fois en 0 (et g'(0)=0) mais n'est pas 2 fois dérivable en ce point.

Mais là encore, ce sont des soucis que l'on ne rencontre pas au lycée...

[maestroarte]

Mille merci Bisam pour tes explications, c'est très clair!