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Après les tout premiers sujets de Français dans une news précédente, voici ce soir les tout premiers sujets d'Histoire-Géographie et de Sciences pour les candidats aux épreuves anticipées (Premières) du BAC Général 2013 au lycée français de Pondichéry en Inde!

Au menu:

• Histoire-Géographie (Premières S)
• Sciences (Premières ES/L)

Bonne découverte!

[tableborder=1 width=100%]Terminales S http://tiplanet.org/bacs2013 Terminales ES http://tiplanet.org/baces2013 Terminales L http://tiplanet.org/bacl2013 Terminales STG http://tiplanet.org/bacstg2013 Terminales ST2S http://tiplanet.org/bacst2s2013 Terminales STI2D http://tiplanet.org/bacsti2d2013 Terminales STD2A http://tiplanet.org/bacstd2a2013 [/table]

[tableborder=1]Premières S http://tiplanet.org/bacs2013ea Premières ES http://tiplanet.org/baces2013ea Premières L http://tiplanet.org/bacl2013ea Premières Technologiques http://tiplanet.org/bact2013ea [/table]

[tableborder=1]Troisièmes Générales/Collège http://tiplanet.org/dnb2013[/table]

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Après l'algorithme des Olympiades Académiques 2013 d'Aix-Marseille dans une news précédente, intéressons-nous maintenant à l'algorithme tombé dans l'Académie de Besançon.

Question I)2):
On nous donne donc un algorithme à trous, destiné à calculer σ(n) pour tout entier naturel n non nul, où σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n.

Lorsque le test "le reste de la division euclidienne de n par k est 0" est vérifié, cela veut dire que k est un diviseur de n.
Il faut donc l'ajouter à la somme des diviseurs déjà trouvée.
Il nous faut donc une variable pour cumuler les diviseurs trouvés au fur et à mesure, et c'est la variable σ initialisée à 0, élément neutre de l'addition, qui joue ici ce rôle.
(si on avait du multiplier les valeurs trouvées au lieu de les additionner, on aurait initialisé la variable à 1, élément neutre de la multiplication)
La dernière instruction manquante sera donc "Affecter à σ la valeur σ+k".

Ce test peut être écrit mathématiquement en utilisant la fonction partie entière E introduite en début de Première S.
On peut alors le récrire par exemple "E(n/k)=n/k".

Enfin, k jouant le rôle des diviseurs de n recherchés, on a 1≤k≤n, ce qui nous permet de compléter les bornes de la boucle 'pour':
"Pour k allant de 1 à n faire"

L'algorithme une fois complété nous donne donc:

Code: Tout sélectionner

Entrée:
   n entier naturel non nul
Initialisation:
   σ prend la valeur 0
Traitement:
   Pour k allant de 1 à n faire
      Si E(n/k)=n/k alors
         Affecter à σ la valeur σ+k
      FinSi
   FinPour
   Afficher σ

L'on traduit aisément l'algorithme en un programme pour nos TI-82 à TI-84:

Il est alors aisé de vérifier le résultat de la question I)1) précédente: σ(350)=744

Voici le programme pour Casio Graph/Prizm:

Et voici maintenant le programme pour TI-Nspire:

Une fois le programme fonctionnel, il est alors aisé et rapide de déterminer quelques valeurs de σ(n), ce qui va être utile pour les quelques exemples demandés par les questions suivantes!



Question II)1)
Il nous faut donc déterminer justement σ(n) pour n allant de 1 à 6.
Le programme nous répond rapidement que σ(1)=1, σ(2)=3, σ(3)=4, σ(4)=7, σ(5)=6 et σ(6)=12.

Question III)3)a)
Sachant qu'un nombre parfait n vérifie σ(n)=2n, il suffit de faire calculer quelques valeurs supplémentaires au programme:

On vérifie alors aisément dans la liste des résultats qu'avec σ(6)=12, 6 est le seul nombre parfait inférieur ou égal à 10.

Question III)5)a)
Sachant qu'un nombre presque parfait n vérifie σ(n)=2n-1, on obtient rapidement de façon similaire que les seuls nombres presque parfaits inférieurs ou égaux à 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16 avec σ(1)=1, σ(2)=3, σ(4)=7, σ(8)=15 et σ(16)=31.
Tiens, ne seraient-ce pas les puissances de 2?...



Envie de faire un peu plus d'arithmétique et d'algorithmique? Pour une petite 10aine de jours, nous avons encore un concours sur les nombres premiers palindromes!

Lien:
Olympiades Académiques de Mathématiques 2013 - 1ère (Besançon)

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Dans nombre de news précédentes, nous vous avons présenté nombre de capteurs connectables sur nos calculatrices graphiques TI.
Ces capteurs étaient souvent des capteurs Vernier, ou plus rarement des capteurs Texas Instruments comme les TI-CBR et TI-CBR2.

Mais d'autres sociétés ont également développé des capteurs compatibles avec le protocole de communication Vernier, comme en témoigne ce sonomètre de chez ExTech Instruments, dont nous avons le plaisir de disposer ce soir!

Le capteur vient donc dans une mallette intérieur mousse regroupant:

• le capteur en lui même
• une pile plate de rechange 9 Volts dite 'japonaise'
• un câble de connexion Jack <-> BT (British Telecom)
• des manuels

Faisons un petit tour d'inspection du capteur:

Sur le dessus on observe l'élément de mesure sonore:

Le capteur, muni de ses interrupteurs de réglage et de son propre écran est parfaitement utilisable de façon autonome, et affiche l'intensité sonore mesurée en décibels (dB):

Sur le dessous sont présents un bouton de réinitialisation ainsi qu'une prise Jack pour la connexion à nos calculatrices:

Visiblement, le capteur ne bénéficie pas de la technologie AutoID - il n'est pas reconnu automatiquement par la calculatrice et nous devons effectuer une sélection manuelle:

Nous voici donc enfin prêts à importer les mesures effectuées dans la calculatrice:

Mais que se passe-t-il? Le capteur affiche 49.9dB et la calculatrice 43.5dB!
C'est pourtant fort simple: il ne s'agit pas d'un capteur numérique mais d'un capteur analogique.
La valeur 49.9 mesurée n'est donc pas directement transmise à la calculatrice mais convertie en une tension censée la représenter, ce qui nécessite effectivement une opération de calibrage côté calculatrice.

A bientôt pour toujours plus d'objets insolites sur TI-Planet!

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Après les algorithmes des Académies d'Aix-Marseille et Besançon dans deux news précédentes, regardons ce soir ensemble l'algorithme tombé en exercice 4 aux Olympiades Académiques de Mathématiques de Première S 2013, dans l'Académie de Mayotte cette fois-ci.

Il s'agit donc d'étudier les déplacements d'une cible chaque seconde entre trois positions 1, 2, 3 selon les règles suivantes:

• la cible commence en 1
• de 1 et de 3, la cible va en 2
• de 2, la cible va en 1 ou 3 de façon équiprobable

L'on peut représenter cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste:

Selon le graphe en partant de 1, après un nombre impair de secondes/déplacements, on est forcément en 2.
Après un nombre pair non nul de déplacements, on se retrouve de façon équiprobable, soit en 1, soit en 3.



Question A)1) 1/2
Question A)2)a) 0
Question A)2)b) 1
Question A)3)a) 1/2
Question A)3)b) 0



Question A)4) 0

Notons que cet algorithme est fort mal écrit - avec une fonction EntAlea() qui n'est ni du langage naturel ni du langage mathématique, des parenthèses pour des affichages et des points virgule de séparation de paramètres ou de ponctuation d'instructions.
Un excellent exemple de ce qu'il ne faut pas faire au BAC!
Cela ressemble fortement à un langage de programmation car il y a des contraintes de syntaxe et l'auteur en aurait donc rapidement traduit les instructions en français, ce qui justement n'est pas un algorithme.

Les trous à compléter dans l'algorithme correspondent simplement aux cas étudiés ci-dessus.
On peut donc les compléter de la façon suivante:

Code: Tout sélectionner

Variables: n entier
Début
   Entrer n
   Si n est impair alors
      Afficher "Cible à position 2"
   sinon
      Si EntAlea(0,1)=0 alors
         Afficher "Cible à position 1"
      sinon
         Afficher "Cible à position 3"
      FinSi
   FinSi
Fin

L'on vérifie aisément le fonctionnement correct de l'algorithme en le traduisant en un programme pour notre calculatrice.

Le test de parité de N peut utiliser la fonction partie entière afin de vérifier si N est divisible par 2 ou non.

Voici un programme pour TI-82 à TI-84:

En voici maintenant un pour Casio Graph/Prizm:

Et enfin maintenant, voici une version TI-Nspire:

Encore un 'algorithme' assez mal écrit pour les mêmes raisons que le précédent, d'autant plus qu'il y a deux instructions 'Si' mais un seul 'FinSi'.

Cette fois-ci on utilise une boucle "pour i=... à n faire".
n étant le nombre de déplacements de la cible, nous allons mettre "pour i=1 à n faire" afin de passer exactement n fois dans la boucle.

La cible va en 2 lorsque qu'elle est en 1 ou 3.
Nous complétons donc l'instruction conditionnelle avec "Si C=2 ou C=3".

Enfin, nous avons des affectations de C avec 2 et 1, la dernière affectation correspond donc forcément par élimination à 3, et nous mettons "Sinon C←3".

Voici l'algorithme:

Code: Tout sélectionner

Variables: n, C, i entiers
Début
   Entrer n
   C←1
   Pour i=1 à n faire
      Si C=1 ou C=3 alors
         C←2
      sinon
         Si EntAlea(0,1)=0 alors
            C←1
         sinon
            C←3
         FinSi
      FinSi
   FinPour
   Afficher "la cible est en position", C
Fin

L'on vérifie encore une fois que l'algorithme est bon en testant sur calculatrice.

Voici un programme traduisant cet algorithme pour TI-82 à TI-84:

Voici maintenant une version pour Casio Graph/Prizm:

Et voici enfin une version TI-Nspire:

Au final, quelles sont les différences entre ces deux algorithmes?

L'algorithme n°1 n'utilise aucune boucle. Il utilise simplement les règles de probabilité établies dans les questions précédentes.
Il s'exécute donc en un temps constant sur machine, quelle que soit la valeur de n. On dit que sa complexité est en o(1).

L'algorithme n°2 par contre a une toute autre approche et simule réellement à l'aide d'une boucle 'pour' la totalité des n déplacements de la cible.
C'est donc un algorithme linéaire de complexité en o(n), dont le temps d'exécution sur machine sera proportionnel à n.

En complexité, l'algorithme 1 serait donc meilleur et la simulation complète effectuée de l'algorithme n°2 serait inutile dans le contexte de ce qu'il doit renvoyer dans cet exercice.

Notons toutefois un petit bémol, avec le cas particulier n=0 interdit par l'énoncé.
Après 0 déplacement, la cible est par définition en position 1, la position d'origine.
L'algorithme n°2 qui simule tous les détails des déplacements est parfaitement d'accord avec ça.
Mais l'algorithme n°1 se plante une fois sur deux, en nous expliquant que la cible est en position 3 au temps 0, ce qui est impossible!

Lien:
Olympiades Académiques de Mathématiques 2013 - 1ère (Mayotte)

[critor]

Jusqu'à présent, vous pouviez commander la TI-Nspire CX CAS chez R. JARRETY s.a.s, distributeur scolaire de Texas Instruments, au prix de 149,88€ TTC, port inclus!

A partir de ce soir, Jarrety baisse les prix et vous offre désormais la TI-Nspire CX CAS à seulement 144,99€ TTC, toujours port inclus!

En prime, vous pouvez même choisir de bénéficier de l'offre TI-Planet/JARRETY, et vous procurer le petit bijou de technologie de chez Texas Instruments à seulement 142€ TTC!

(rappel: si vous ne disposez pas déjà d'une TI-Nspire, nous vous déconseillons de changer de calculatrice maintenant pour vos examens 2013)



Source:
http://www.jarrety.fr/index.php/grand-p ... egory_id=6