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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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PARTIEL 2024 COMPRESSION PARTIE VARIABLES ALEATOIRES EXERCICE 1 : 1. soit une VA X continue comprise entre a et b de distrib uniforme X envir U(a,b) a) rappeler lexpress de la valeur de la moy mx=E{X} en fct de a et b loi uniforme continue : fx(x) = 1/b-a si xapp[a,b] 0 sinon E[X] = integr<a,b> x*fx(x)dx = integr<a,b> x *1/b-a dx =1/b-a *integr<a,b> xdx =1/b-a *[x^2/2]<a,b> =1/b-a *b^2-a^2/2 =b+a/2 E{X}=a+b /2 b) Demontrer que la variance sigmax^2 vaut (b-a)^2/12 Vax(X)=E[X^2]-E[X]^2 Vax(X)=(b-a)^2 /12 E[X^2]=integr<a;b> x^2 *fx(x)dx =1/b-a *integr<a,b> x^2dx =1/b-a *[x^3/3]<a,b> =1/b-a *b^3-a^3/3 Vax(X)=1/b-a *b^3-a^3/3 + (a+b /2)^2 =(b-a)^2 /12 2. soient les var aléatoires Gaussiennes X enviN(0, 1/2) et Y envi N(5,4) ainsi que la VA unif Z envi U(2,5) dont les densite de proba DDP sont repres ci dessous DDP de la VA X : - sinc a un seul pic centre en 0 - proche de 1-, 1 - la DDP(aire hachure)est notee entre -inf et 0 DDP de la VA Y : - sinc a un seul pic centre en 0 - proche de 1-, 1 - la DDP (aire hachure)est notee entre 0 et +inf DDP de la VA Z : - signal carre, entre 2 et 5 - DDP(aire hachure) note entre 3 et 5 Completer le tableau ci dessous la valeur de l'aire achuree pr la variable Y sera exprimee en fct de la fct derreur Q dont vs rappelerez la def X Y Z Moyenne | 0 | 5 | 3.5 Variance | 0.5 | 5 |0.75 Moy quad |0.5 |29 |13 aire hachu | 0.5 | 1/3 |3/4 Pour une loi normale Y envi N(5,4) => N(moyenne, variance) Moyenne quadrtique : Pr(X<=xo)=Q(xo - moy /sigma) fct derreur comprementaire Q(x)=1/sqrt(2pi) *integr<x;+inf> exp(-u^2/2)du Quand on a une loi unif, densite de proba : fx(x) = 1/b-a AIRE HACHUREE : Q(xo-moy /sigma) X : 1-Q(xo-0 / 1/4) Y : 1-Q(xo-5/ 2) Z : faire un integrale : 2/3 EXERCICE 2 : soit un nb reel A=0.2 et X la VA dont la densite de proba px(x) est repres on pose Pr(X<A)=0.8 Px(x) | |----- C | | | | | | | --------------| B ------0.2-----------|1---->x 1)Determiner les valeurs de B et C sur la figue 0.8 = C*0.2 C= 4 1-0.8 = 0.2 0.2=0.8 * B B=0.2/0.8 = 0.25 2)Soit le nb Ac tq A<Ac<1 exprimer la proba p=Pr(X<Ac) en fct de Ac Pr(x<Ac)=integr<x;Ac> px(x)dx =integr<0;0.2>4dx + integr<0.2;Ac> 0.25dx = 0.8 + 0.25*(Ac - 0.2) 3)on definit une nv VA E a partir de la VA X et de Ac de la facon suivante : - si X<Ac, E prend la valeur fixe sqrt(q^2/12) - si X>=Ac : E est distrib unif entre 0 et 1-Ac Det lexpress de la moy quad de la VA E en fct de p, Ac et q si X<Ac : Pr(X<Ac)=P(E=sqrt(q^2/12) E=sqrt(q^2/12) =>E^2=q^2/12 contribution : E(E^2)=p * q^2/12 si X>=Ac proba : 1-p E env U(0.1 - Ac) pour une unif U(0,a) E[E^2] = integr x^2P(E=x)dx integr<0,1-Ac> x^2(1-p)dx =(1-Ac)^3/3 *(1-p) E[E^2]=p.q^2/12 + (1-P)*(1-Ac)^3/3 p=0.8+0.25(Ac-0.2) ------------------------------------------------------- PARTIE QUANTIFICATION : on rappelle les relations generales entre seuil de decision et niveau de reconstruction sur lquantif de loydn max di = r_(i+1) + ri /2 ri = integr<di, d(i+1) x*p(x)dx /integr<di, d(i+1) p(x)dx 1)rappeler le principe de la demo de ces 2 relations di<=x<=di+1 => x=ri D=integr<di;di+1> (x-ti)^2 px dx derivee par rapport a ri : dDi/dri = integr<di;di+1> d(x-ri)^2/dri * p(x)dx =integr<di;di+1> 2(ri-x)p(x)dx condition doptimalite : dDi/dri = 0 integr<di;di+1> 2(ri-x)p(x)dx = 0 ri * integr<di;di+1> p(x)dx = integr<di;di+1> xp(x)dx ri = integr<di, d(i+1) x*p(x)dx /integr<di, d(i+1) p(x)dx on cherche la valeur de di : (x-r(i-1))^2=x-ri)^2 on developpe des 2 cotes : 2x(ri-r(i-1)=ri^2-r(i-1)^2 x=ri^2-r(i-1)^2 / 2(ri^2-r(i-1)) =ri + ri+1 /2 =di 2)ds le cas dune densite de proba unif, exprimer ri en fct de di et (i+1) ri = integr<di, d(i+1) x/b-adx /integr<di, d(i+1) 1/b-a dx =1/di+1 -di *integr<di;di+1> xdx ri = 1/di+1 -di *[x^2 /2]<di;di+1> = 1/di+1 -di * d(i+1)^2 - di^2 /2 =di+1 +di /2 3)MQ ds ce cas, la quantif de lloyd max revient a une simple quantif unif avec une densite unfi on a vu que : ri = di+1 +di /2 di = r_(i+1) + ri /2 ces relations st mutuellement coherentes si les interv son egalement espaces donc les niv de reconstruc st au centre des cellules et les cellules sont de mm taille => quantif unif on considere a present un signal aleatoir a densite de proba laplacienne p(x)=1/sigma*sqrt(2) *exp(-|s|sqrt(2)/sigma 4)MQ ce signal aleatoire est a moy nulle la densite de proba : p(x)= 1/sigma*sqrt(2) *exp(-sqrt(2)|x| /sigma) calcul de lesperance : E[X] = integr<-inf;+inf> x.px(dx) =integr<-inf;0> x.px(dx) + integr<0;+inf> x.px(dx) mais p(x) est sym et impair, l'integrale est nulle On suhaite concevoir pr ce signal un quantif de lloyd max a 2 niveau de construction seuil de decision st ds cs cas do=-inf, d1=0, d2=+inf 5)expliquer pr les 2 niveaux de reconstuction st caract par la relation r0=-r1 les seuils de decision sont do=-inf, d1=0, d2=+inf les cellules de quantif sont : Co=(-inf,0) C1=(0, +inf) la densite de proba est sym autour
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PARTIEL 2024 COMPRESSION PARTIE VARIABLES ALEATOIRES EXERCICE 1 : 1. soit une VA X continue comprise entre a et b de distrib uniforme X envir U(a,b) a) rappeler lexpress de la valeur de la moy mx=E{X} en fct de a et b loi uniforme continue : fx(x) = 1/b-a si xapp[a,b] 0 sinon E[X] = integr<a,b> x*fx(x)dx = integr<a,b> x *1/b-a dx =1/b-a *integr<a,b> xdx =1/b-a *[x^2/2]<a,b> =1/b-a *b^2-a^2/2 =b+a/2 E{X}=a+b /2 b) Demontrer que la variance sigmax^2 vaut (b-a)^2/12 Vax(X)=E[X^2]-E[X]^2 Vax(X)=(b-a)^2 /12 E[X^2]=integr<a;b> x^2 *fx(x)dx =1/b-a *integr<a,b> x^2dx =1/b-a *[x^3/3]<a,b> =1/b-a *b^3-a^3/3 Vax(X)=1/b-a *b^3-a^3/3 + (a+b /2)^2 =(b-a)^2 /12 2. soient les var aléatoires Gaussiennes X enviN(0, 1/2) et Y envi N(5,4) ainsi que la VA unif Z envi U(2,5) dont les densite de proba DDP sont repres ci dessous DDP de la VA X : - sinc a un seul pic centre en 0 - proche de 1-, 1 - la DDP(aire hachure)est notee entre -inf et 0 DDP de la VA Y : - sinc a un seul pic centre en 0 - proche de 1-, 1 - la DDP (aire hachure)est notee entre 0 et +inf DDP de la VA Z : - signal carre, entre 2 et 5 - DDP(aire hachure) note entre 3 et 5 Completer le tableau ci dessous la valeur de l'aire achuree pr la variable Y sera exprimee en fct de la fct derreur Q dont vs rappelerez la def X Y Z Moyenne | 0 | 5 | 3.5 Variance | 0.5 | 5 |0.75 Moy quad |0.5 |29 |13 aire hachu | 0.5 | 1/3 |3/4 Pour une loi normale Y envi N(5,4) => N(moyenne, variance) Moyenne quadrtique : Pr(X<=xo)=Q(xo - moy /sigma) fct derreur comprementaire Q(x)=1/sqrt(2pi) *integr<x;+inf> exp(-u^2/2)du Quand on a une loi unif, densite de proba : fx(x) = 1/b-a AIRE HACHUREE : Q(xo-moy /sigma) X : 1-Q(xo-0 / 1/4) Y : 1-Q(xo-5/ 2) Z : faire un integrale : 2/3 EXERCICE 2 : soit un nb reel A=0.2 et X la VA dont la densite de proba px(x) est repres on pose Pr(X<A)=0.8 Px(x) | |----- C | | | | | | | --------------| B ------0.2-----------|1---->x 1)Determiner les valeurs de B et C sur la figue 0.8 = C*0.2 C= 4 1-0.8 = 0.2 0.2=0.8 * B B=0.2/0.8 = 0.25 2)Soit le nb Ac tq A<Ac<1 exprimer la proba p=Pr(X<Ac) en fct de Ac Pr(x<Ac)=integr<x;Ac> px(x)dx =integr<0;0.2>4dx + integr<0.2;Ac> 0.25dx = 0.8 + 0.25*(Ac - 0.2) 3)on definit une nv VA E a partir de la VA X et de Ac de la facon suivante : - si X<Ac, E prend la valeur fixe sqrt(q^2/12) - si X>=Ac : E est distrib unif entre 0 et 1-Ac Det lexpress de la moy quad de la VA E en fct de p, Ac et q si X<Ac : Pr(X<Ac)=P(E=sqrt(q^2/12) E=sqrt(q^2/12) =>E^2=q^2/12 contribution : E(E^2)=p * q^2/12 si X>=Ac proba : 1-p E env U(0.1 - Ac) pour une unif U(0,a) E[E^2] = integr x^2P(E=x)dx integr<0,1-Ac> x^2(1-p)dx =(1-Ac)^3/3 *(1-p) E[E^2]=p.q^2/12 + (1-P)*(1-Ac)^3/3 p=0.8+0.25(Ac-0.2) ------------------------------------------------------- PARTIE QUANTIFICATION : on rappelle les relations generales entre seuil de decision et niveau de reconstruction sur lquantif de loydn max di = r_(i+1) + ri /2 ri = integr<di, d(i+1) x*p(x)dx /integr<di, d(i+1) p(x)dx 1)rappeler le principe de la demo de ces 2 relations di<=x<=di+1 => x=ri D=integr<di;di+1> (x-ti)^2 px dx derivee par rapport a ri : dDi/dri = integr<di;di+1> d(x-ri)^2/dri * p(x)dx =integr<di;di+1> 2(ri-x)p(x)dx condition doptimalite : dDi/dri = 0 integr<di;di+1> 2(ri-x)p(x)dx = 0 ri * integr<di;di+1> p(x)dx = integr<di;di+1> xp(x)dx ri = integr<di, d(i+1) x*p(x)dx /integr<di, d(i+1) p(x)dx on cherche la valeur de di : (x-r(i-1))^2=x-ri)^2 on developpe des 2 cotes : 2x(ri-r(i-1)=ri^2-r(i-1)^2 x=ri^2-r(i-1)^2 / 2(ri^2-r(i-1)) =ri + ri+1 /2 =di 2)ds le cas dune densite de proba unif, exprimer ri en fct de di et (i+1) ri = integr<di, d(i+1) x/b-adx /integr<di, d(i+1) 1/b-a dx =1/di+1 -di *integr<di;di+1> xdx ri = 1/di+1 -di *[x^2 /2]<di;di+1> = 1/di+1 -di * d(i+1)^2 - di^2 /2 =di+1 +di /2 3)MQ ds ce cas, la quantif de lloyd max revient a une simple quantif unif avec une densite unfi on a vu que : ri = di+1 +di /2 di = r_(i+1) + ri /2 ces relations st mutuellement coherentes si les interv son egalement espaces donc les niv de reconstruc st au centre des cellules et les cellules sont de mm taille => quantif unif on considere a present un signal aleatoir a densite de proba laplacienne p(x)=1/sigma*sqrt(2) *exp(-|s|sqrt(2)/sigma 4)MQ ce signal aleatoire est a moy nulle la densite de proba : p(x)= 1/sigma*sqrt(2) *exp(-sqrt(2)|x| /sigma) calcul de lesperance : E[X] = integr<-inf;+inf> x.px(dx) =integr<-inf;0> x.px(dx) + integr<0;+inf> x.px(dx) mais p(x) est sym et impair, l'integrale est nulle On suhaite concevoir pr ce signal un quantif de lloyd max a 2 niveau de construction seuil de decision st ds cs cas do=-inf, d1=0, d2=+inf 5)expliquer pr les 2 niveaux de reconstuction st caract par la relation r0=-r1 les seuils de decision sont do=-inf, d1=0, d2=+inf les cellules de quantif sont : Co=(-inf,0) C1=(0, +inf) la densite de proba est sym autour
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