Espace vect euclidien
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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: Flasheur
Type : Classeur 3.0.1
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Mis en ligne Uploaded: 28/04/2013 - 13:22:24
Uploadeur Uploader: Flasheur (Profil)
Téléchargements Downloads: 187
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : https://tipla.net/a13458
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
<<
Adjoint d'un endomorphisme u*
L(E) et pour tt x,y
E, (u(x) l y) = (x l u*(y)) Theo soit ¾ bon de E, u
L(E), A= Mat¾(u) 1) Mat¾(u*) = tA 2) si v
L(E), et B =mat¾(v) alors v=u* ÐÒ B=tA Prop 1) lineaire 2)u** = (u*)* =u 3)(uOv)* =v* Ou* 4) ide*=ide 5)(u^-1)* = (u*) ^-1 Groupe orthogonal a) Endomorphisme orthogonaux u
L(E) est dir orthogonal ssi u onserve le ps ctd (u(x) l u(y)) =(xly) Theo 1) u ortho 2) u conserve la norme llu(x)ll = llxll 3)u conserve la distance llu(x)-u(y)ll=llx-yll 4) u*u=ide 5)uu* = ide 6) u bij et u^-1 = u* Rq: a cause de 3) on appelle isometrie vectorielle a cause de 6) on appelle automorphisme orthogonal Si u ortho ÐÒ u* ortho Theo O(E) ={u
L(E) tq u ortho} (O(E),o) est un sous grip de GL(E)= group orthogonal de E Ex fond les symetrie orthogonales F sev de E, dimE fini E=F+F^ortho par def, la sym ortho par rapport a F notee Df, est la sym par rapport a F suivant F^ortho note sF,F^ortho y=sF(x) ÐÒ x+y
F et x-y
F^ortho sF
L(E) et sF^2 = ide, et donc sF
GL(E) et sF-1 =sF F = {x
E tq sF(x) = x } (espace invariant) F^ortho = {x
E tq sF(x) = -x} (espace antiivariant) sF^ortho = -Df et sF = 2pF - ide Reciproquement si s un endo involutif E=F+G , F=ker(s-ide) et G=Ker(s+ide) alors s symetrie orthogonale ÐÒ G=F^ortho ÐÒ F ortho G toute symetrie ortho est un endom ortho ctd un isometrie vectorielle Cas p=1 F=D droit, D=Ra MAt¾(sD) = (1 0 -1 0 -1) on parle de sym axiale Cas p=n-1 F=H hyperplan, MAt¾(sH) = (1 0 1 0 -1) on parle de symetrie hyperplan ou reflexion sH= -sD donc sH(x) = x-2(alx)a/llall^2 p=n : F=E, sE=ide (1 0 0 1) P=0 : F={0E} , sF=-ide (-1 0 0 -1) symetrie central n=1 O(E) = {ide;-ide} Theo Soit u
O(E), alors det u = +/- 1 si det u =1 , u dit endom ortho positif on note SO(E)={u
O(E) tq detu=1} =grp speciale ortho de E ex: ide
SO(E) det(-ide) = (-1)^n -ide
SO(E) ÐÒ n pair p=dimF , det(sF) = (-1) ^n-p sF
SO(E) ÐÒ p et n ont m parite reflexion n-p =1 dc tjs indirect symetrie axaile n-p = n-1 direct ÐÒn impair Mat orthogonale 1) A ortho 2) les colonne de A forme une bon 3)les ligne aussi 4) tAA = In 5)AtA=In 6)A inversible et A^-1 = tA A ortho ÐÒ tA ortho On(R) = {A
œm(R) tq A ortho} cest un soue group de GLn(R) =grp ortho d'ordre n A ortho Ò det A = +/- 1 theo Soit ¾,¾' base de E, P =P¾,¾' On suppose ¾ orthonormale alors ¾' orthonormale ÐÒ P orthogonale Dans ce cas, si A=mat¾(u) et A'=mat¾'(u) On a A' = tP A P Endomorp autoadjoint u
L(E) est dit autoadjoint (ou symetrique) ssi u*=u cts (u(x)ly)=(xlu(y)) Theo ¾ bon de E u autoad ÐÒA symetrique On note S(E) = {u autoadjoint} Prop S(E) sev de L(E) est un isomorphisme dimS(E) = n(n+1)/2 Prop 1) soit p projecteur p projection orthogonale ssi p autoadjoint 2) s une involution , s est une symetrie ortho ssi s est autoadjoint Rq: si s est une symetrie vect, s tsometrique vec ÐÒ s symetrie orthogonal Diago en base orthonormale 1) Si A
Sn(R) als tt ses val prop sont relle 2) Si u
S(E) son Ç est scinde sur R Theo soit u un endom auto de E. Alore u est diago en base orthonormale, ctd E admet une bon formee de vect propre de u Coro tte mat A
Sn(R) est diago via une mat de passage orthogonale il existe D
Mn(R) diago et il existe P
Mn(R) orthogonale tq A =P D^ortho P Reduction des formes quadratiques Def forme quadratique sur E une appli ¦:E’R de la forme pout tt x
E, ¦(x)=Æ(x,x) ou Æ:E*E ’R est une forme bilineaire symetrique Prop Si ¦ est une forme quadratique, tq ¦(x) = Æ(x,x) pou tt x
E, avec Æ f.b.s. alors Æ est unique et on l'appelle forme polaire de ¦ Theo soit ¦ une forme qua sur E, de forme polaire Æ. alors il existe un et un seul endomorp autoad u de E tq pout tt x,y
E ,Æ(,y)=(u(x)ly) on a als ¦(x)=(u(x)lx) u est appele endomor auto canoniquement associe a ¦
>>
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Adjoint d'un endomorphisme u*
L(E) et pour tt x,y
E, (u(x) l y) = (x l u*(y)) Theo soit ¾ bon de E, u
L(E), A= Mat¾(u) 1) Mat¾(u*) = tA 2) si v
L(E), et B =mat¾(v) alors v=u* ÐÒ B=tA Prop 1) lineaire 2)u** = (u*)* =u 3)(uOv)* =v* Ou* 4) ide*=ide 5)(u^-1)* = (u*) ^-1 Groupe orthogonal a) Endomorphisme orthogonaux u
L(E) est dir orthogonal ssi u onserve le ps ctd (u(x) l u(y)) =(xly) Theo 1) u ortho 2) u conserve la norme llu(x)ll = llxll 3)u conserve la distance llu(x)-u(y)ll=llx-yll 4) u*u=ide 5)uu* = ide 6) u bij et u^-1 = u* Rq: a cause de 3) on appelle isometrie vectorielle a cause de 6) on appelle automorphisme orthogonal Si u ortho ÐÒ u* ortho Theo O(E) ={u
L(E) tq u ortho} (O(E),o) est un sous grip de GL(E)= group orthogonal de E Ex fond les symetrie orthogonales F sev de E, dimE fini E=F+F^ortho par def, la sym ortho par rapport a F notee Df, est la sym par rapport a F suivant F^ortho note sF,F^ortho y=sF(x) ÐÒ x+y
F et x-y
F^ortho sF
L(E) et sF^2 = ide, et donc sF
GL(E) et sF-1 =sF F = {x
E tq sF(x) = x } (espace invariant) F^ortho = {x
E tq sF(x) = -x} (espace antiivariant) sF^ortho = -Df et sF = 2pF - ide Reciproquement si s un endo involutif E=F+G , F=ker(s-ide) et G=Ker(s+ide) alors s symetrie orthogonale ÐÒ G=F^ortho ÐÒ F ortho G toute symetrie ortho est un endom ortho ctd un isometrie vectorielle Cas p=1 F=D droit, D=Ra MAt¾(sD) = (1 0 -1 0 -1) on parle de sym axiale Cas p=n-1 F=H hyperplan, MAt¾(sH) = (1 0 1 0 -1) on parle de symetrie hyperplan ou reflexion sH= -sD donc sH(x) = x-2(alx)a/llall^2 p=n : F=E, sE=ide (1 0 0 1) P=0 : F={0E} , sF=-ide (-1 0 0 -1) symetrie central n=1 O(E) = {ide;-ide} Theo Soit u
O(E), alors det u = +/- 1 si det u =1 , u dit endom ortho positif on note SO(E)={u
O(E) tq detu=1} =grp speciale ortho de E ex: ide
SO(E) det(-ide) = (-1)^n -ide
SO(E) ÐÒ n pair p=dimF , det(sF) = (-1) ^n-p sF
SO(E) ÐÒ p et n ont m parite reflexion n-p =1 dc tjs indirect symetrie axaile n-p = n-1 direct ÐÒn impair Mat orthogonale 1) A ortho 2) les colonne de A forme une bon 3)les ligne aussi 4) tAA = In 5)AtA=In 6)A inversible et A^-1 = tA A ortho ÐÒ tA ortho On(R) = {A
œm(R) tq A ortho} cest un soue group de GLn(R) =grp ortho d'ordre n A ortho Ò det A = +/- 1 theo Soit ¾,¾' base de E, P =P¾,¾' On suppose ¾ orthonormale alors ¾' orthonormale ÐÒ P orthogonale Dans ce cas, si A=mat¾(u) et A'=mat¾'(u) On a A' = tP A P Endomorp autoadjoint u
L(E) est dit autoadjoint (ou symetrique) ssi u*=u cts (u(x)ly)=(xlu(y)) Theo ¾ bon de E u autoad ÐÒA symetrique On note S(E) = {u autoadjoint} Prop S(E) sev de L(E) est un isomorphisme dimS(E) = n(n+1)/2 Prop 1) soit p projecteur p projection orthogonale ssi p autoadjoint 2) s une involution , s est une symetrie ortho ssi s est autoadjoint Rq: si s est une symetrie vect, s tsometrique vec ÐÒ s symetrie orthogonal Diago en base orthonormale 1) Si A
Sn(R) als tt ses val prop sont relle 2) Si u
S(E) son Ç est scinde sur R Theo soit u un endom auto de E. Alore u est diago en base orthonormale, ctd E admet une bon formee de vect propre de u Coro tte mat A
Sn(R) est diago via une mat de passage orthogonale il existe D
Mn(R) diago et il existe P
Mn(R) orthogonale tq A =P D^ortho P Reduction des formes quadratiques Def forme quadratique sur E une appli ¦:E’R de la forme pout tt x
E, ¦(x)=Æ(x,x) ou Æ:E*E ’R est une forme bilineaire symetrique Prop Si ¦ est une forme quadratique, tq ¦(x) = Æ(x,x) pou tt x
E, avec Æ f.b.s. alors Æ est unique et on l'appelle forme polaire de ¦ Theo soit ¦ une forme qua sur E, de forme polaire Æ. alors il existe un et un seul endomorp autoad u de E tq pout tt x,y
E ,Æ(,y)=(u(x)ly) on a als ¦(x)=(u(x)lx) u est appele endomor auto canoniquement associe a ¦
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