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Discussions scientifiques et scolaires

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Unread postby marwen mb » 20 Jun 2019, 17:41

Bonjour je voudrais savoir comment je dois faire pour résoudre l'exo 1.
J'ai essayé la récurrence ça ne marche pas.
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Re: Aide suite

Unread postby edgar13 » 20 Jun 2019, 18:28

D'ou vient cet exercice? Par contre je ne sais pas comment faire. :comprends_po: :micro:
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Re: Aide suite

Unread postby critor » 21 Jun 2019, 00:12

Dans le contexte des suites numériques, un réflexe à avoir lorsqu'une question fournit un résultat à démontrer, c'est le raisonnement par récurrence
(Terminale S)
. Comme d'ailleurs indiqué juste avant ton exercice.

En plus c'est une récurrence sur une égalité, ce sont les plus simples car nécessitant le moins d'initiatives, quasiment mécaniques.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$
.



Initialisation
:

On prend la plus petite valeur
n
autorisée par l'énoncé, ici 0 puisque c'est pour tout entier naturel.

Pour
$mathjax$n=0$mathjax$
, on a :
$mathjax$u_n=u_0\\
\phantom{u_n}=1$mathjax$

$mathjax$0,5(-0,6)^n+0,5=0,5(-0,6)^0+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=0,5\times 1+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=0,5+0,5\\
\phantom{0,5(-0,6)^n+0,5}=1$mathjax$

Donc la propriété est vraie au rang 0 :
$mathjax$u_0=0,5(-0,6)^0+0,5$mathjax$




Hérédité
:

Supposons que la propriété est vraie à un certain rang
n
:
$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$

On va maintenant énoncer le but à démontrer dans cette partie. Pour cela c'est très simple : remplace dans la propriété tous les
n
par des
n+1
.

Démontrons alors qu'elle est vraie au rang
n+1
:
$mathjax$u_{n+1}=0,5(-0,6)^{n+1}+0,5$mathjax$

Tu pars alors d'un côté de l'égalité à démontrer, et tu dois arriver à l'autre côté en utilisant 2 éléments :
  • l'égalité supposée pour la récurrence
  • une autre égalité fournie dans l'énoncé

$mathjax$u_{n+1}=-0,6 u_n+0,8\text{ d'après l'énoncé}\\
\phantom{u_{n+1}}=-0,6\left(0,5(-0,6)^n+0,5\right)+0,8\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
\phantom{u_{n+1}}=-0,6\times 0,5(-0,6)^n-0,6\times 0,5+0,8\\
\phantom{u_{n+1}}=0,5(-0,6)^{n+1}-0,3+0,8\\
\phantom{u_{n+1}}=0,5(-0,6)^{n+1}-0,5\text{ cqfd}$mathjax$

Donc la propriété est vraie au rang
n+1
:
$mathjax$u_{n+1}=0,5(-0,6)^{n+1}+0,5$mathjax$




Conclusion
:
Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$u_n=0,5(-0,6)^n+0,5$mathjax$
.
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