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Correction exo 2 (algo) BAC ES/L 2019 (Antilles-Guyane juin)

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Correction exo 2 (algo) BAC ES/L 2019 (Antilles-Guyane juin)

Unread postby critor » 19 Jun 2019, 13:55

Correction de l'exercice 2
(algorithme)
du BAC ES/L 2019 Antilles-Guyane :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=3409



Question 1
:

$mathjax$u_1=u_0\left(1+\frac{5}{100}\right)+20\\
\phantom{u_1}=100\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=100\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=105+20\\
\phantom{u_1}=125$mathjax$


$mathjax$u_2=u_1\left(1+\frac{5}{100}\right)+20\\
\phantom{u_1}=125\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=125\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=131,25+20\\
\phantom{u_1}=151,25$mathjax$




Question 2
:

Augmenter la taille de 5% chaque mois revient à multiplier par
$mathjax$1+\frac{5}{100}=1+0,05\\
\phantom{1+\frac{5}{100}}=1,05$mathjax$
, valeur à laquelle s'ajoute donc 20cm.
Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$u_{n+1}=1,05\times u_n+20$mathjax$




Question 3a
:

Pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_n=u_n-400$mathjax$
.

Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-400\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n+20+400\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n-420\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-\frac{420}{1,05}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-400\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times v_n$mathjax$


$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison
$mathjax$q=1,05$mathjax$
et de premier terme
$mathjax$v_0=u_0+400\\
\phantom{v_0}=100+400\\
\phantom{v_0}=500$mathjax$




Question 3b
:

Donc pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_n=v_0\times q^n\\
\phantom{v_n}=500\times 1,05^n$mathjax$




Question 3c
:

Pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$v_n=u_n+400\Leftrightarrow v_n-400=u_n+400-400\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow v_n-400=u_n\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=v_n-400\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=500\times 1,05^n-400\text{ d'après 3b}\\$mathjax$




Question 3d
:

$mathjax$u_7=500\times 1,05^7-400\\
\phantom{u_7}\approx 304$mathjax$


Au bout du 7ème mois, le bambou mesurera donc 304 cm.



Question 4a
:

Modifions l'algorithme afin de lui faire produire directement le tableau demandé :

Algorithme
Programme
Code: Select all
u←100
n←0
Tant que u<200 faire
  u←1,05×u+20
  n←n+1
  Afficher u, n et u<200
Fin tant que

Code: Select all
#cas
def algop():
  u=100
  n=0
  while u<200:
    u=1.05*u+20
    n=n+1
    print(u,n,u<200)
#end

Code: Select all
def algo():
  u=100
  n=0
  while u<200:
    u=1.05*u+20
    n=n+1
    print(u,n,u<200)



Code: Select all
100→U
0→N
While U<200
  1.05×U+20→U
  N+1→N
  {U,N,U<200}◢
WhileEnd

Code: Select all
100→U
0→N
While U<200
  1.05*U+20→U
  N+1→N
  Disp {U,N,U<200}
End

Code: Select all
Define algo()=
Prgm
  u:=100
  n:=0
  While u<200
    u:=1.05∙u+20
    n:=n+1
    Disp u,n,u<200
  EndWhile
EndPrgm
Code: Select all
EXPORT algo()
BEGIN
  U:=100;
  N:=0;
  WHILE U<200 DO
    U:=1.05*U+20;
    N:=N+1;
    PRINT({U,N,U<200});
  END;
END;

Code: Select all
100⇒u
0⇒n
While u<200
  1.05×u+20⇒u
  n+1⇒n
  Print {u,n,judge(u<200)}
WhileEnd
Code: Select all
100→A
0→M
Répéter jusqu'à A≥200
  1,05×A+20→A
  M+1→M
  Afficher résult A
  Afficher résult M
  Si A<200 Alors
    "Oui"
  Sinon
    "Non"
  Fin







Test u<200vraivraivraivraifaux
Valeur de
u
100125151,25178,8125207,753125
Valeur de
n
01234




Question 4b
:

A la fin de l'algorithme, la variable
n
contient donc la valeur 4.

L'algorithme s'articule autour d'une boucle
Tant que
de condition de poursuite u<200.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire u≥200.

Il travaille avec deux variables :
  • u
    initialisée à
    $mathjax$u_0=100$mathjax$
    et affectée récursivement dans la boucle selon la relation de récurrence
    $mathjax$u_{n+1}=1,05\times u_n+20$mathjax$
    , et qui représente donc la taille du bambo en centimètres
  • n
    initialisée à 0 puis incrémentée de 1 dans la boucle, et qui représente donc le nombre de mois écoulés

L'algorithme détermine donc le nombre de mois au bout desquels le bambou dépassera 200 cm.



Question 4b
:

Le bambou a donc maintenant pour taille initiale 50 cm au lieu de 100 cm. On remplace donc l'affectation u←100 par u←50.
On cherche maintenant à savoir quand est-ce qu'il dépassera non plus 2 m = 200 cm, mais 10 mètres, soit 1000 centimètres. On remplace donc Tant que u<200 par Tant que u<1000.

Code: Select all
u←50
n←0
Tant que u<1000 faire
  u←1,05×u+20
  n←n+1
  Afficher u<200, u et n
Fin tant que
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