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Correction exo 2 (algo) BAC STL(Bio) 2017, Métropole (juin)

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Correction exo 2 (algo) BAC STL(Bio) 2017, Métropole (juin)

Message non lude critor » 19 Juin 2017, 15:18

Correction exercice n°2 (algo) du sujet de Maths du BAC STL(Bio) 2017 de Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2014

Question A)
:

La fonction
f
est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite.
Donc la fonction
f
ne convient pas.

Calculons les ordonnées à l'origine :
$mathjax$g(0)=3,4e^{-0,223\times 0}\\
\phantom{g(0)}=3,4e^0\\
\phantom{g(0)}=3,4\times 1\\
\phantom{g(0)}=3,4$mathjax$

$mathjax$h(0)=\frac{9}{3+0}\\
\phantom{h(0)}=\frac{9}{3}\\
\phantom{h(0)}=3$mathjax$

$mathjax$h(0)≠3,4$mathjax$
et donc la courbe représentative de la fonction
h
ne passe pas par le point de coordonnées
$mathjax$(0;3,4)$mathjax$
.
La fonction
h
ne convient pas.

C'est donc la fonction
h
par élimination.

Question B)1)a)
:

$mathjax$C_0=3,4$mathjax$

$mathjax$C_1=2,72$mathjax$

$mathjax$C_2=2,176$mathjax$


Question B)1)b)
:

La suite
$mathjax$\left(C_n\right)$mathjax$
semble décroissante.

Question B)2)a)
:

Pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$C_{n+1}=C_n\left(1-\frac{20}{100}\right)\\
\phantom{C_{n+1}}=C_n(1-0,2)\\
\phantom{C_{n+1}}=0,8 C_n$mathjax$

La suite
$mathjax$\left(C_n\right)$mathjax$
est géométrique de raison
$mathjax$q=0,8$mathjax$
.
Donc pour tout entier naturel
n
:
$mathjax$C_n=C_0 q^n\\
\phantom{v_n}=3,4\times 0,8^n$mathjax$


Question B)2)b)
:

$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$mathjax$
car
$mathjax$0<0,8<1$mathjax$
.
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}C_n=3,4\times 0\\
\phantom{\lim\limits_{n\to +\infty}C_n}=0$mathjax$


Question B)3)
:

Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.


Algorithme
Programme
Code: Tout sélectionner
Variables :
   n entier naturel
   C réel
Initialisation :
   Affecter à n la valeur 0
   Affecter à C la valeur 3,4
Traitement :
   Tant que C>1
      Affecter à n la valeur n+1
      Affecter à C la valeur 0,8×C
   Fin tant que
Sortie :
   Afficher n
Code: Tout sélectionner
0→N
3.4→C
While C>1
   N+1→N
   0.8C→C
   Disp {N,C,C>1}
End
N

Code: Tout sélectionner
Define mebio2017(n)=
Func
   Local n,c
   0→n
   3.4→c
   While c>1
      n+1→n
      0.8c→c
      Disp n,c,c>1
   EndWhile
   Return n
EndFunc
Code: Tout sélectionner
0→N
3.4→C
While C>1
   N+1→N
   0.8C→C
   {N,C,C>1}◢
WhileEnd
N

Code: Tout sélectionner
0⇒n
3.4⇒c
While c>1
   n+1⇒n
   0.8c⇒c
   Print {n,c,c>1}
WhileEnd
Return n
Code: Tout sélectionner
EXPORT mebio2017()
BEGIN
   N:=0;
   C:=3.4;
   WHILE C>1 DO
      N:=N+1;
      C:=0.8*C;
      PRINT({N,C,C>1});
   END;
   PRINT(N);
END;


Voici la trace par itération de l'algorithme :
nCC>1
12.72Vrai
22.176Vrai
31.7408Vrai
41.39264Vrai
51.11411Vrai
60.89129Faux

L'algorithme affiche la valeur de
n
et donc 6.

L'algorithme s'articule autour d'une boucle
Tant que
de condition de poursuite C>1.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire : C≤1.

Il utilise 2 variables :
  • l'entier
    n
    initialisé à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle est donc le nombre d'heures
  • le réel
    C
    initialisé à
    $mathjax$C_0=3,4$mathjax$
    et modifié dans la boucle selon la relation de récurrence
    $mathjax$C_{n+1}=0,8 C_n$mathjax$
    est donc la concentration

L'algorithme affichant la valeur de
n
, il donne donc le nombre d'heures au bout duquel le concentration sera inférieure ou égale à 1.

Question B)4)a)
:

C'est donc à
$mathjax$7+6=13h$mathjax$
qu'aura lieu la 2ème injection.

Question B)4)b)
:

$mathjax$C_6=3,4\times 0,8^6\\
\phantom{C_6}\approx 0,9$mathjax$

Donc la concentration après injection sera de
$mathjax$0,9+3,4=4,3μg·L^{-1}$mathjax$


Question B)4)c)
:

Soit
$mathjax$D_n$mathjax$
la concentration du médicament
n
heures après la 2ème injection.
De même, pour tout entier naturel
n
,
$mathjax$D_{n+1}=0,8 D_n$mathjax$
et
$mathjax$D_n=D_0 q^n\\
\phantom{D_n}=4,3\times 0,8^n$mathjax$
.

$mathjax$D_n≤1\Leftrightarrow 4,3\times 0,8^n≤1\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{4,3\times 0,8^n}{4,3}≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n ln(0,8)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}\text{ car }ln(0,8)<1\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}$mathjax$

Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}\approx 6,5$mathjax$
.
Donc
$mathjax$n≥7$mathjax$
.
C'est donc à
$mathjax$13+7=20h$mathjax$
qu'aura lieu la 2èmeinjection.
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