π
<-
Chat plein-écran
[^]

Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017)

Discussions scientifiques et scolaires

Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017)

Message non lude critor » 26 Avr 2017, 13:17

Correction de l'exo 4 (suites + tableur) du sujet de Maths du BAC S 2017 tombé en Inde en avril 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2251



Question A)1) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_{n+1} = 2 u_n - n + 3$mathjax$
.
Si la cellule B3 représente un+1, c'est la cellule B2 qui représente un et la cellule A2 qui représente n.
La formule saisie en B3 est donc : =2*B2-A2+3

Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n = 2^n$mathjax$
.
Si la cellule C3 représente vn, c'est la cellule A3 qui représente n.
La formule saisie en C3 est donc : =2^A3

Astuce : Vérifier les formules grâce à l'application tableur de la calculatrice :
Image




Question A)2) :
D'après ces 4 dernières valeurs, la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
semble diverger vers
$mathjax$+\infty$mathjax$
.

Les 4 valeurs correspondante de la suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
sont :
  • $mathjax$\frac{3080}{1024}\approx 3,008$mathjax$
  • $mathjax$\frac{6153}{2048}\approx 3,004$mathjax$
  • $mathjax$\frac{12298}{4096}\approx 3,002$mathjax$
  • $mathjax$\frac{24587}{8192}\approx 3,001$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
semble quant à elle converger vers 3.

Astuce : Les valeurs sont obtenables rapidement et sans erreur de saisie avec l'application tableur de la calculatrice :
Image




Question B)1) :
Démontrons par récurrence que pout tout entier naturel n, la propriété
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$

  • Initialisation :
    Pour n=0,
    $mathjax$3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2 = 3 \times 1 - 2\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = 3 - 2\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = 1\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = u_0\\$mathjax$

    La propriété est vraie au rang 0.
  • Hérédité :
    Supposons que la popriétée soit vraie à un certain rang n, c'est-à-dire que l'on ait
    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
    .
    Démontrons alors que la propriété est vraie au rang n+1, c'est-à-dire que l'on a
    $mathjax$u_{n+1} = 3 \times 2 ^ {n + 1} + n + 1 - 2$mathjax$
    , soit
    $mathjax$u_{n+1} = 3 \times 2 ^ {n+1} + n - 1$mathjax$

    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2 \Leftrightarrow 2 u_n = 2 \left(3 \times 2 ^ n + n - 2\right)\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n = 2 \times 3 \times 2 ^ n + 2 n - 2 \times 2\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n = 6 \times 2 ^ n + 2 n - 4\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n = 6 \times 2 ^ n + 2 n - 4 - n\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n = 6 \times 2 ^ n + n - 4\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n + 3 = 6 \times 2 ^ n + n - 4 + 3\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n + 3 = 6 \times 2 ^ n + n - 1\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow u_{n+1} = 6 \times 2 ^ n + n - 1$mathjax$
  • Conclusion :
    La propriété est donc héréditaire, et pour tout entier naturel n,
    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
    .



Question B)2) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
.
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}2^n=+\infty$mathjax$
car 2>1.
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}n-2=+\infty$mathjax$
.
Donc,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$mathjax$
, ce qui valide notre 1ère conjecture en A)2).



Question B)3) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
.
$mathjax$3 \times 2 ^ n ≥ 1000000 \Leftrightarrow \frac{3 \times 2 ^ n}{3} >= \frac{1000000}{3}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow 2 ^ n >= \frac{1000000}{3}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow ln\left( 2 ^ n \right) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n \times ln(2) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n \times ln(2) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow \frac{n \times ln(2)}{ln(2)} >= \frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n >= \frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)}$mathjax$

(car ln(2)>0)
Or,
$mathjax$\frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)} \approx 18,3$mathjax$
.
Donc pour
$mathjax$n≥19$mathjax$
,
$mathjax$n-2≥0$mathjax$
et
$mathjax$u_n≥1000000$mathjax$
.

$mathjax$u_{18} = 3 \times 2 ^ 18 + 18 - 2\\
\phantom{u_{18}} = 3 \times 262144 + 16\\
\phantom{u_{18}} = 786432 + 16\\
\phantom{u_{18}} = 786448$mathjax$

$mathjax$u_{18} < 1000000$mathjax$
, donc le rang du 1er terme supérieur à 1 million est 19.



Question C)1) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 ^ {n + 1}}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 ^ n \times 2 ^ 1}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 \times 2 ^ n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 v_n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n}{2 v_n} - \frac{n}{2 v_n} + \frac{3}{2 v_n} - \frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{u_n}{v_n} + \frac{3 - n}{2 v_n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{3 - n}{2 v_n}$mathjax$


Pour tout entier naturel n,
$mathjax$2^n>0$mathjax$
et donc
$mathjax$v_n>0$mathjax$
.
Donc
$mathjax$2 v_n>0$mathjax$
, et
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}$mathjax$
est donc du signe de
$mathjax$3 - n$mathjax$
.
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}$mathjax$
est donc négatif pour
$mathjax$n≥3$mathjax$
, et la suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
est donc décroissante à partir du rang 3.



Question C)2) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_n}{v_n}=\frac{3 \times 2 ^ n + n - 2}{2 ^ n}\\
\phantom{\frac{u_n}{v_n}}=\frac{3 \times 2 ^ n}{2 ^ n} + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{2}{2 ^ n}\\
\phantom{\frac{u_n}{v_n}}=3 + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}$mathjax$


$mathjax$0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n} \Leftrightarrow 3 + 0 < 3 + \frac{n}{2 ^ n} ≤ 3 + \frac{1}{n}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 < 3 + \frac{n}{2 ^ n} ≤ 3 + \frac{1}{n}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} < 3 + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} ≤ 3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} < \frac{u_n}{v_n} ≤ 3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}$mathjax$


Or d'une part
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}n-1=+\infty$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}2^{n-1}=+\infty$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{2 ^ {n - 1}}=0$mathjax$
et donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}=3$mathjax$
.

Et d'autre part
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{2 ^ {n - 1}}=0$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n}=0$mathjax$
et donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}=3$mathjax$
.

Donc, d'après le théorème des gendarmes,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=3$mathjax$
, ce qui valide notre 2ème conjecture en A)2).
Image
Avatar de l’utilisateur
critorAdmin
Niveau 19: CU (Créateur Universel)
Niveau 19: CU (Créateur Universel)
Prochain niv.: 41.4%
 
Messages: 41455
Images: 14353
Inscription: 25 Oct 2008, 00:00
Localisation: Montpellier
Genre: Homme
Calculatrice(s):
MyCalcs profile
YouTube: critor3000
Twitter/X: critor2000
GitHub: critor

Re: Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017

Message non lude Bisam » 26 Avr 2017, 23:19

Personnellement, je n'aurais jamais corrigé la question B)1 en la rédigeant avec des équivalences.
Je trouve qu'il est particulièrement malsain de les utiliser lorsqu'elles ne sont pas nécessaires, puisqu'elles font croire à l'élève que l'on peut en mettre à tout bout de champ.

J'aurais simplement écrit :
Pour
$mathjax$n\in \mathbb{N}$mathjax$
, si on suppose que
$mathjax$u_n=3\times 2^n+n-2$mathjax$
alors on calcule
$mathjax$u_{n+1}=2u_n-n+3=2(3\times 2^n+n-2)-n+3=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2$mathjax$
.


Je n'aurais pas non plus rédigé la question C)2 avec des équivalences.
Une fois que l'on a écrit que
$mathjax$\frac{u_n}{v_n} = 3 + \frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n}$mathjax$
, on peut conclure avec la propriété admise dans l'énoncé que
$mathjax$\frac{n}{2^n}\rightarrow 0$mathjax$
par le théorème des gendarmes. On sait que
$mathjax$\frac{2}{2^n}\rightarrow 0$mathjax$
puisque
$mathjax$2^n\rightarrow +\infty$mathjax$
donc, par opérations sur les limites, on obtient
$mathjax$\frac{u_n}{v_n} \rightarrow 3+0+0=3$mathjax$
.

Le tout sans animosité : je sais bien que tu passes beaucoup de temps à la lourde tâche de traquer et corriger tous ces énoncés, critor !
Avatar de l’utilisateur
BisamAdmin
Niveau 15: CC (Chevalier des Calculatrices)
Niveau 15: CC (Chevalier des Calculatrices)
Prochain niv.: 69.5%
 
Messages: 5665
Inscription: 11 Mar 2008, 00:00
Localisation: Lyon
Genre: Homme
Calculatrice(s):
MyCalcs profile

Re: Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017

Message non lude critor » 26 Avr 2017, 23:36

Je n'avais nullement ressenti d'animosité, ne t'inquiète pas. :)

Merci pour tes remarques.
Image
Avatar de l’utilisateur
critorAdmin
Niveau 19: CU (Créateur Universel)
Niveau 19: CU (Créateur Universel)
Prochain niv.: 41.4%
 
Messages: 41455
Images: 14353
Inscription: 25 Oct 2008, 00:00
Localisation: Montpellier
Genre: Homme
Calculatrice(s):
MyCalcs profile
YouTube: critor3000
Twitter/X: critor2000
GitHub: critor


Retourner vers Maths, physique, informatique et autre...

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 9 invités

-
Rechercher
-
Social TI-Planet
-
Sujets à la une
Comparaisons des meilleurs prix pour acheter sa calculatrice !
Aidez la communauté à documenter les révisions matérielles en listant vos calculatrices graphiques !
Phi NumWorks jailbreak
123
-
Faire un don / Premium
Pour plus de concours, de lots, de tests, nous aider à payer le serveur et les domaines...
Faire un don
Découvrez les avantages d'un compte donateur !
JoinRejoignez the donors and/or premium!les donateurs et/ou premium !


Partenaires et pub
Notre partenaire Jarrety Calculatrices à acheter chez Calcuso
-
Stats.
737 utilisateurs:
>717 invités
>15 membres
>5 robots
Record simultané (sur 6 mois):
6892 utilisateurs (le 07/06/2017)
-
Autres sites intéressants
Texas Instruments Education
Global | France
 (English / Français)
Banque de programmes TI
ticalc.org
 (English)
La communauté TI-82
tout82.free.fr
 (Français)