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Caractéristiques orbitales

Discussions scientifiques et scolaires

Caractéristiques orbitales

Unread postby Astarus » 23 Nov 2020, 20:09

Bonsoir à tous !

Je me suis lancé dans la programmation d'un simulateur de vol spatial sur calculatrice (j'en reparlerai un futur topic si le projet aboutit). Je pensais être sur une bonne lancée mais je bloque complètement pour calculer les caractéristiques orbitales du vaisseau (excentricité, apoapside, périapside) car le calcul de toutes ces données nécessite, directement ou indirectement, le demi grand axe ou le demi petit axe de mon orbite. Mais je n'ai rien trouvé sur le net pour savoir comment calculer ces deux longueurs lorsque l'on dispose des composantes de l'accélération, de la vitesse, de la position et de la masse du vaisseau. On a également la masse du centre attracteur.

Si quelqu'un peut m'aider, cela serait formidable.
Merci d'avance,
Astarus.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby parisse » 23 Nov 2020, 20:29

Ca ne peut pas se faire avec l'equation de la trajectoire en polaire dans le plan orbital?
Code: Select all
rho=a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))

a=demi grand axe, e=excentricite
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby Astarus » 23 Nov 2020, 21:42

Bonsoir parisse.

Justement l'équation polaire nécessite d'avoir a, qui permet aussi de calculer e, avec le demi petit axe. Comment je trouve a ? Sachant que je n'ai ni excentricité, ni demi petit axe... J'ai l'impression de tourner en rond, a est nécessaire pour obtenir e et e est nécessaire pour calculer a...
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby parisse » 24 Nov 2020, 11:02

Vous pouvez regarder la theorie par exemple ici,
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/mat249/mat237.html#sec49
en descendant un peu jusqu'a l'etude des integrales premieres du probleme a 2 corps.
Disons que c'est la Terre qui orbite autour du Soleil, on en deduit la valeur du parametre mu qui est le produit de la masse du Soleil et de la constante G. Si vous connaissez la vitesse et la position de la Terre, le plan orbital est defini par le Soleil, le vecteur r=Soleil-Terre et la vitesse dr/dt. Il me semble ensuite qu'il suffit de calculer les deux constantes du mouvement: le "moment cinetique" L=r vectoriel dr/dt (ce n'est pas vraiment le moment cinetique car on ne multiplie pas par la masse de la Terre), L est orthogonal au plan orbital. On calcule ensuite le vecteur excentricite E qui a pour norme l'excentricite e. Si e<1, le grand axe de l'ellipse a E pour vecteur directeur, et le demi-grand axe a se calcule avec la formule a*(1-e^2)=L^2/mu.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby Bisam » 24 Nov 2020, 11:22

C'est de la physique, ça.
De mémoire, tu peux exprimer le paramètre p de ton ellipse à l'aide la constante gravitationnelle G, de la masse M du corps attracteur et de la constante des aires C :
$mathjax$p=\frac{C^2}{GM}$mathjax$
.
Tu dois pouvoir calculer la valeur de C à l'aide de la vitesse et de l'accélération.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby parisse » 24 Nov 2020, 12:55

Bisam wrote:C'est de la physique, ça.

La resolution du probleme a deux corps, c'est plutot des maths a mon avis. Mais je constate avec regret que les maths ont divorce de la physique dans le secondaire et en prepas, au point que les eleves de prepas qui arrivent chez nous en licence 3eme annee ne savent plus faire d'etude de courbe en parametriques/polaires, de cinematique, pas d'algebre bilineaire, pas de series de Fourier...

De mémoire, tu peux exprimer le paramètre p de ton ellipse à l'aide la constante gravitationnelle G, de la masse M du corps attracteur et de la constante des aires C :
$mathjax$p=\frac{C^2}{GM}$mathjax$
.
Tu dois pouvoir calculer la valeur de C à l'aide de la vitesse et de l'accélération.

Je ne sais pas si vous avez vu mon message precedent, mais j'ai donne tous les details des calculs des parametres de l'equation en polaire de la trajectoire.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby Astarus » 24 Nov 2020, 21:52

Bonsoir parisse et Bisam !

Je ne m'étais pas encore intéressé aux applications des courbes paramétriques en physique, c'est passionnant ! Mais cela fait pas mal d'informations d'un coup, donc j'aimerais tenter un exemple. :#fou#:

Pour simplifier, mon vaisseau a une orbite dans le plan de l'équateur terrestre. On choisit donc le plan de l'équateur pour étudier le mouvement du vaisseau, plan que l'on munit du repère orthonormé direct (O, x, y) d'origine le centre de la Terre.

Prenons par exemple theta=pi/4 (oui, il faut que je révise LaTex...), le vecteur position r(4525000, 4525000) (les valeurs sont en mètres) et le vecteur vitesse dr/dt(5233, -5233) (les valeurs sont en m.s^(-1)). Ces valeurs sont normalement cohérentes pour un vaisseau en orbite terrestre basse d'altitude 120km environ.

J'ai donc L= r vectoriel dr/dt. J'obtiens L(0, 0, -4.7E10) (le vecteur est bien normal au plan orbital) et l'excentricité E=(L^2/rGMcos(theta))-(1/cos(theta)) où G est la constante de gravitation universelle et M la masse de la Terre. J'obtiens E=-0.19.

J'ai bon ??

En espérant que oui, ces calculs ne sont à faire qu'une seule fois tant que l'orbite du vaisseau n'est pas modifiée où il faut les réactualiser régulièrement ? Il me semble que ce n'est pas le cas car si j'ai bien compris, L=cste.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby parisse » 24 Nov 2020, 22:18

Dans mon cours, E est un vecteur, pas un scalaire (les lettres en gras designent des vecteurs). C'est la norme de E qui est un scalaire (positif), l'excentricite.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby Bisam » 25 Nov 2020, 10:41

La resolution du probleme a deux corps, c'est plutot des maths a mon avis. Mais je constate avec regret que les maths ont divorce de la physique dans le secondaire et en prepas, au point que les eleves de prepas qui arrivent chez nous en licence 3eme annee ne savent plus faire d'etude de courbe en parametriques/polaires, de cinematique, pas d'algebre bilineaire, pas de series de Fourier...

Les courbes polaires et les séries de Fourier ne sont plus au programme
de maths
de prépas depuis 2015.
L'algèbre bilinéaire n'est présente qu'un tout petit peu dans le programme de MP. Les PSI et PC n'en font pas du tout.
Les courbes paramétrées sont à peine aperçues en 2ème année... mais jamais mises à profit car elles ne tombent plus aux concours.

Tout cela est donc traité uniquement en physique et en SI... tout comme une grande partie du calcul différentiel, des équations aux dérivées partielles, les propriétés des coniques, le produit vectoriel, etc.

Certaines choses reviennent au programme l'an prochain. D'autres semblent définitivement perdues.
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Re: Caractéristiques orbitales

Unread postby Astarus » 29 Nov 2020, 19:42

Bonsoir à tous !
J'ai avancé dans mon programme (encore une fois, merci à Bisam et Parisse) mais je rencontre une autre difficulté. Au décollage d'un vaisseau et pendant une partie de son ascension, l'excentricité orbitale vaut e=1 (il en est de même sur Kerbal Space Program, qui me sert de référence pour vérifier la cohérence de mon programme). Or quelque soit le calcul utilisé pour déterminer le demi grand axe a de l'orbite du vaisseau, il y a (1-e) ou (1-e^2) au dénominateur, donc une division par 0 quand e=1. Quelle est donc la méthode généralement employée dans ce genre de situation ?

J'ai également une autre question. La valeur de l'apoapside est Ap=a(1+e), celle du périapside est Per=a(1-e) (wikipédia). Mais ces valeurs ne prennent pas en compte le rayon de l'astre orbité, qu'il faut soustraire pour effectivement avoir l'altitude de l'apoapside et du périapside. Mais cela ne suffit pas. Par exemple, considérons un vaisseau en ascension vers l'orbite, avec une excentricité e=0,9. Il est évident que le demi grand axe d'une orbite est au moins égal au rayon du l'astre orbité. Donc dans le cas de notre vaisseau, (Ap=a(1+e)-rayon de l'astre orbité) ce qui est supérieur à 0,9rayon de l'astre orbité. Dans le cas de la Terre par exemple, cela nous donne un apoapside à plusieurs milliers de km d'altitude, alors que le vaisseau vient de décoller... Quelque chose cloche, mais quoi ?

Si quelqu'un peut m'aider, je l'en remercie d'avance.
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