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Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédonie

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Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédonie

Message non lude critor » 01 Mar 2014, 17:56

Aujourd'hui, intéressons-nous à l'exercice d'algorithme et de feuille de calculs est tombé dans le contexte de suites en Nouvelle Calédonie en novembre 2013 à l'épreuve de mathématiques commune aux BAC STI2D et STL spécialité SPCL:



Question A)1)
On souhaite donc obtenir sur une feuille de calculs un tableau de valeur de la suite (un).
Parmi les 4 propositions, on peut déjà éliminer la formule a), qui est la même que d) mais non écrite correctement pour un tableur avec utilisation de la variable n au lieu de la cellule C1.

Pour la formule b) $B$2 correspondrait toujours à u0, et elle code donc la relation un=0,4u0+3.
un ne dépendrait donc pas de n et la suite (un) serait constante, ce qui est trivialement faux selon le tableau de valeurs fourni.

Resteraient les formules c) et d), C2:=B2*0,4+3 et C2:=0,4^C1+3, qui se traduisent algébriquement par un+1=0,4un+3 et un+1=0,4n+3.
d) est donc une formule générale explicite, tandis que c) est une relation de récurrence, identique à la définition de l'énoncé.
C'est donc cette dernière que nous choisissons: réponse c).


Il était aussi possible de réaliser la feuille de calculs sur sa calculatrice graphique et d'y tester les formules une par une.

En effet les TI-Nspire, Casio Graph 75/85/95/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP disposent d'une application tableur, qui nous confirme que seule le formule c) génère le même tableur de valeurs:
Image Image Image
Remarque: Les Casio Graph 25+Pro et Graph 35+USB ne disposent pas d'une telle application. Mais il est toutefois possible d'installer le système Graph 75/85/95 sur une Graph 35+USB et donc d'y disposer de l'application tableur. :bj:

Sur les TI-82+/83+/84 monochromes, une application tableur dénommée 'CellSheet' est normalement intégrée, si vous ne l'avez pas effacée vous-même en réinitialisant par exemple la calculatrice.
A défaut, il vous suffira de la réinstaller.
Remarque: Il n'existe hélas pas d'application équivalent pour TI-76.fr/82Stats, ni pour la nouvelle TI-84 Plus C couleur à ce jour. Une application officielle était censée sortir à la rentrée pour cette dernière, mais hélas a déjà pris pas mal de retard et a été repoussée deux fois.


Question A)2)
On peut conjecturer que la suite tend vers 5, par valeurs inférieures.
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=5^-$mathjax$


Question A)3)
On nous suggère donc pour construire l'algorithme d'utiliser le tableau de valeurs, c'est-à-dire de comprendre ce qu'il fait. Cet algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que.
Dans cet algorithme, la variable u contient la valeur d'un terme de la suite (un), puisque initialisée à u0=-1 et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence.
La variable n quant à elle représente le rang, puisque initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle tant que.
L'algorithme s'arrête en renvoyant la valeur de n sur sortie de la boucle tant que, soit sur la réalisation du contraire de la condition de poursuite |u-5|>10-p, c'est-à-dire |u-5|≤10-p.
En sachant de plus que p=2, cela nous donne un arrêt sur |u-5|≤10-2.
cela se traduit algébriquement par:
|un-5|≤10-2
-(un-5)≤10-2 car nous avons conjecturé un-5<0 dans notre contexte
5-un≤10-2
5-10-2≤un
5-0,01≤un
4,99≤un
un≥4,99
Une recherche de cette condition dans le tableau de valeurs fourni nous donne donc n=7.

Il était également possible de ne rien avoir à comprendre de l'algorithme et de se contenter de le programmer sur sa calculatrice graphique afin de lui demander la réponse.
Voici des programmes traduisant cet algorithme et confirmant ce résultat pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/V200, Casio Graph/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:
Image Image Image Image


Question B)1)
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0=6 et de raison q=0,4.

Question B)2)
Comme
$mathjax$-1<0,4<1, \lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$

Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}6\times(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times0$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$


Question B)3)
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}5-v_n$mathjax$
$mathjax$=5-\lim\limits_{n\to+\infty}v_n$mathjax$
$mathjax$=5-0$mathjax$
$mathjax$=5$mathjax$


Question B)4)a)
$mathjax$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$mathjax$
étant une suite géométrique,
$mathjax$v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{1-0,4}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{0,6}$mathjax$
$mathjax$=\frac{6}{0,6}\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$
$mathjax$=10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$


Question B)4)b)
$mathjax$u_0+u_1+\dots+u_n=(5-v_0)+(5-v_1)+\dots+(5-v_n)$mathjax$
$mathjax$=(5+5+\dots+5)-(v_0+v_1+\dots+v_n)$mathjax$
$mathjax$=5n-10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$




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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude Bisam » 02 Mar 2014, 08:47

Je me suis permis de réécrire une bonne partie du code Latex... C'est plus joli si on ne mélange pas le BBcode et le Latex.
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude critor » 02 Mar 2014, 11:38

Oui, merci.
Je ferai directement comme ça la prochaine fois :)
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude critor » 02 Mar 2014, 12:09

Juste un petit détail.
J'ai scindé les enchaînements de calculs sur la fin de l'article en plusieurs formules Latex à partir de leur deuxième symbole égale.
En effet l'écran n'était pas assez large chez moi et le Latex n'allait visiblement pas automatiquement à la ligne au sein d'une même formule.
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude Adriweb » 02 Mar 2014, 12:12

C'est d'ailleurs d'autant mieux que sur un écran assez large, ça reste sur la même ligne :)

Je vais regarder cependant s'il y a moyen de faire ceci automatiquement.
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude Bisam » 02 Mar 2014, 12:16

Effectivement, Latex ne va pas à la ligne tout seul au sein d'une formule mathématique... ce qui est le seul cas où on l'utilise sur un forum !
Cependant, il est possible de lui faire afficher un calcul sur plusieurs lignes, en gardant l'alignement des signes "=" par exemple (ou des équivalences).
On pourrait peut-être ajouter un Tuto d'utilisation de Latex... :p
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude pierrotdu18 » 02 Mar 2014, 16:00

Oui il est possible de faire ça mais cela ne remplacera pas un "retour à la ligne" automatique si la ligne est trop grande...

Sinon pour ceux qui veulent ça doit être un truc comme ça: ...

Code: Tout sélectionner
\begin{array}{rcl}
x  & = & 4 - 2 - 2 \\
{} & = & 2 - 2 \\
{} & = & 0
\end{array}


Ce qui donne :

$mathjax$\begin{array}{rcl}
x & = & 4 - 2 - 2 \\
& = & 2 - 2 \\
& = & 0
\end{array}$mathjax$
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude pierrotdu18 » 02 Mar 2014, 16:03

Bisam a écrit:On pourrait peut-être ajouter un Tuto d'utilisation de Latex... :p


Sans déconner, je veux bien le faire si vous voulez, ça pourrait être utile ;)
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude Bisam » 02 Mar 2014, 19:04

Fais-le si tu veux... mais, il en existe déjà des super ben faits alors ne te casse pas trop la tête !
Par exemple, celui-ci couvre largement ce qui est nécessaire sur un forum.
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Re: Correction algorithme BAC STI2D/STL 2013 Nouvelle Calédo

Message non lude pierrotdu18 » 02 Mar 2014, 19:06

Oui oui ne t'inquiètes pas, je ne vais pas réécrire un tuto tout entier alors qu'il y en existe déjà des milliers (sans exagérer :p) sur internet ;)

Je vais juste me charger de faire des jolis "copier/coller", et de réadapter quelques trucs, qui me paraissent inutiles ou superficiels ;)
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