Aujourd'hui nous allons faire d'une pierre deux coups - nous allons corriger un algorithme de BAC avec l'ensemble des familles de calculatrices désormais disponibles pour cette rentrée 2013. De quoi donc servir aussi bien à ceux qui passent le BAC S de septembre la semaine prochaine, ceux qui préparent le BAC cette année, ou encore ceux qui n'ont pas encore arrêté leur choix de calculatrice.
Il s'agit donc de l'algorithme qui est tombé en juin 2013 dans l'exercice de spécialité du BAC S en Antilles-Guyane. Comme une majorité d'algorithmes tombant au BAC toutes séries confondues, c'est dans le contexte de suites:
Question 2)a)
On souhaite donc obtenir la trace de l'algorithme, c'est-à-dire l'état mémoire des différentes variables utilisées au fur et à mesure de son exécution. Le tableau fourni demande de donner ces valeurs à chaque changement de valeur de la variable k. Or cette variable k étant le compteur de la boucle pour, il y a un truc enfantin pour obtenir la réponse!
Nous allons prendre notre calculatrice graphique, y traduire l'algorithme ci-dessus en un programme, et tout simplement rajouter une instruction de sortie donnant l'état des variables à l'intérieur de la boucle pour.
Voici le programme à réaliser pour TI-82/83/84, et l'affichage qu'il produit:
Il n'y a plus qu'à recopier la réponse!
| k | w | u | v |
| 1 | 0 | 1/2 | 2/3 |
| 2 | 1/2 | 7/12 | 11/18 |
Le même programme est réalisable sans difficulté particulière sur les autres modèles de calculatrices graphiques, une fois que l'on est habitué aux spécificités du langage.
Le voici pour TI-89/92/Voyage200/Nspire:
Ou encore pour Casio Graph/Prizm/fx-CG:
Ou pour Casio Classpad/fx-CP400:
Et enfin pour HP-39gII/Prime:
Question 2)b)
On nous demande ici d'interpréter par rapport à a valeur N saisie, l'affichage de l'algorithme, qui correspond ci-dessus à la dernière ligne (ou colonne) affichée par le programme, soit 7/12 et 11/18 ou encore environ 0,5833 et 0,6111.
Rien qu'avec les noms de variables et calculs de l'algorithme, on peut deviner qu'il s'agit de termes des suites u et v, mais reste-t-il encore à savoir de quels rangs.
Pour cela, nous allons utiliser l'application suites de notre calculatrice graphique et lui demander un tableau de valeurs.
La plupart des modèles commencent par défaut avec un terme de rang 1 alors qu'en France la plupart du temps on commence avec un terme de rang 0.
Il faut donc ne pas oublier de modifier ce rang de départ pour ne pas avoir de décalage dans les valeurs qui nous ferait répondre faux.
Il ne faut surtout pas omettre de saisir les termes initiaux des suites, comprenant parfois des valeurs par défaut sur un autre écran ce qui peut être trompeur...
Selon le modèle, on ne pourra pas forcément appeler les suites u et v, et il faudra se contenter de suites a et b sans les confondre.
Voici par exemple ce que l'on obtient sur TI-Nspire:
On en déduit que les deux valeurs affichées par l'algorithme sont dans notre exemple u2 et v2, et donc dans le cas général uN et vN.
On y serait arrivé avec tout autant de facilité sur Casio Graph/Prizm/fx-CG/Classpad/fx-CP400:
Certains modèles de calculatrices ne permettent pas de définir le terme de rang n+1 mais uniquement le terme de rang n. Or, la plupart des définitions de suites récurrentes d'ordre 1 en France énoncent le terme de rang n+1. Pour définir les suites sur ces modèles, il faut donc remplacer toutes les occurences de la variable n par (n-1).
Voici donc la manipulation équivalente sur TI-82/83/84:
Resteraient encore les HP-39gII/Prime. Et bien elles ne vont pas pouvoir nous aider à résoudre facilement cet énoncé.
Première difficulté, elles commencent au terme de rang 1, permettent certes de modifier ce rang de départ mais refusent obstinément la valeur 0 - et sont donc inadaptées à l'enseignement français:
Mais si ce n'était que ça... Il aurait suffi de tenir compte du décalage de rang dans les résultats. Mais il y a pire, bien pire...
La calculatrice refuse de travailler avec la suite U1, et de calculer la suite U2 au-delà du rang 2. Vous voyez l'erreur?... Les suites sont bien entrées aussi bien que sur les autres modèles. Le problème semble venir d'un bug de l'application, les définitions de suites dans la machine étant séquencielles et se faisant dans l'ordre: U1 puis U2 puis U3... Or, la suite U1 définie en premier ayant besoin de la suite U2 qui n'existe pas encore, elle est considérée comme erronée et reste désactivée. S'agissant ici d'un système de suites récurrentes d'ordre 1 croisées, changer l'ordre n'arrangera rien - et je crains qu'une transformation de ce système en quelque chose de compatible ne relève d'un bricolage hors de portée de la compréhension de l'ensemble des lycéens. On pourrait se dire que c'est un bug de la HP-Prime qui sera corrigé dans une version ultérieure du système - mais ce n'est pas le cas puisque ce problème est, de façon effrayante, déjà présent sur sa calculatrice-soeur HP-39gII et non corrigé depuis 1 an!
Je conçois que des étudiants ou ingénieurs puissent avoir des besoins différents, mais en ce qui concerne les lycéens et l'importance accordée aux suites dans leurs programmes, je ne peux conseiller en l'état la nouvelle génération de modèles HP.
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BAC S - Annales sujets et corrigés 2012-2013
