Erreur "Non définie" TI-83

→ **MyCalcs** profile · de **vincentgtn** » 02 Juin 2019, 22:44

Bonsoir,
je suis en terminale S et grâce à la fonctionnalité "zCreator" (editrawtxt.php?ztext=1), j'ai pu obtenir un programme propre avec un menu-sommaire, restituant toutes les ROC exigibles de maths. Le programme ainsi téléchargé et transféré dans ma calculatrice TI-83 Premium CE, il démarre et affiche le menu normalement. Or dès que je choisi un chapitre dans ce menu, la calculatrice affiche un message d'erreur :

ERREUR: NON DÉFINIE
La variable utilisée n'a pas encore été définie.

Je pense que le programme est trop volumineux mais n'étant pas un féru d'informatique je ne sais trop comment le savoir.

Voici le programme en question :

Code: Tout sélectionner: 12→W FoncNAff :0→Xmin:0→Ymin:1→X:1→Y:AxesNAff:EffDess: ArrPlanNAff:CouleurTexte(NOIR Lbl 0 Menu("ROC MATHÉMATIQUE","SUITES",1,"FONCTION EXPONENTIELLE",2,"GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE",3,"PROBABILITÉS",4,"Quitter",Q Lbl 1 DelVar V "ÉNONCÉ 1 prgmZTEXT "(>eg = sup ou égal à) prgmZTEXT "Soient (Un)nN et (Vn)nN prgmZTEXT "deux suites telles que pour tout ent prgmZTEXT "ier naturel n à partir dun certain prgmZTEXT "rang, Un >eg Vn et dautre part lim prgmZTEXT "n->+ (Un) = +. prgmZTEXT "Montrer que : lim n->+ (Vn) = +. prgmZTEXT " prgmZTEXT "DÉMONSTRATION 1 prgmZTEXT "Il sagit de montrer que tout interv prgmZTEXT "alle de la forme ]A, +[, avec A rée prgmZTEXT "l, contient tous les termes de la su prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "ite (Vn)nN prgmZTEXT "à partir dun certain rang. prgmZTEXT "Soient A un réel puis I =]A, +[. prgmZTEXT "Il existe un rang n0 tel que pour to prgmZTEXT "ut n > n0, Un >eg Vn. prgmZTEXT "Dautre part, lim n->+ (Un) = +. prgmZTEXT "Donc il existe un rang n1 tel que po prgmZTEXT "ur tout n > n1, Un appartient à lin prgmZTEXT "tervalle I. prgmZTEXT "Soit N le plus grand des deux entier prgmZTEXT "s n0 et n1. prgmZTEXT "Soit n > N. Puisque n > N, on a n > prgmZTEXT "n0 et donc Vn > Un. Puisque n > N, o prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "n a n > n1 et donc un appartient à I prgmZTEXT " prgmZTEXT "ou encore un > A. prgmZTEXT "Mais alors, pour tout entier naturel prgmZTEXT " n > N, on a Vn > Un > A et donc Vn prgmZTEXT "appartient à lintervalle I. Ainsi, prgmZTEXT "tous les termes de la suite (Vn)nN prgmZTEXT "sont dans I à partir du rang N. prgmZTEXT "On a montré que tout intervalle de l prgmZTEXT "a forme ]A, +[ contient tous les te prgmZTEXT "rmes de la suite (Vn)nN à partir d prgmZTEXT "un certain rang et donc lim n->+ (V prgmZTEXT "n) = +. prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ÉNONCÉ 2 (inégalité de Bernoulli) prgmZTEXT "Soit a un réel positif. prgmZTEXT "Montrer que : pour tout entier natur prgmZTEXT "el n, (1 + a)^n >eg 1 + na. prgmZTEXT " prgmZTEXT "DÉMONSTRATION 2 prgmZTEXT "Soit a un réel positif. Montrons par prgmZTEXT " récurrence que pour tout entier nat prgmZTEXT "urel n, (1 + a)^n >eg 1 + na. prgmZTEXT " (1 + a) prgmZTEXT "0 = 1 et 1 + 0 * a = 1. Comme 1 >eg prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "1, linégalité est vraie quand n = 0 prgmZTEXT ". prgmZTEXT " Soit n > 0. Supposons que (1 + a)^ prgmZTEXT "n > 1 + na et montrons que (1 + a)^( prgmZTEXT "n+1) > 1 + (n + 1)a. prgmZTEXT "(1 + a)^(n+1) = (1 + a)^n * (1 + a) prgmZTEXT ">eg (1 + na)(1 + a) (par hypothèse d prgmZTEXT "e récurrence et car 1 + a > 0) prgmZTEXT "= 1 + na + a + na^2 = 1 + (n + 1)a + prgmZTEXT " na^2 >eg 1 + (n + 1)a (car na2 > 0) prgmZTEXT ". prgmZTEXT "On a montré par récurrence que pour prgmZTEXT "tout entier naturel n, (1 + a)^n > 1 prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " + na prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ÉNONCÉ 3 prgmZTEXT "Soit q un réel strictement plus gran prgmZTEXT "d que 1. prgmZTEXT "Montrer que : lim n->+ (q)^n = +. prgmZTEXT "Pré-requis: prgmZTEXT "On suppose connu les résultats suiva prgmZTEXT "nts prgmZTEXT " (linégalité de Bernoulli :) pour prgmZTEXT "tout réel positif a et tout entier n prgmZTEXT "aturel n, (1 + a)^n >eg 1 + na. prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " si (Un) et (Vn) sont deux suites t prgmZTEXT "elles que, à partir dun certain ran prgmZTEXT "g, on a Un >eg Vn et dautre part, l prgmZTEXT "im n->+ (Un) = +, alors on a lim n prgmZTEXT "->+ (Vn) = +. prgmZTEXT " prgmZTEXT "DÉMONSTRATION 3 prgmZTEXT "Soit q un réel strictement plus gran prgmZTEXT "d que 1. Posons a = q 1 de sorte q prgmZTEXT "ue a est un réel strictement positif prgmZTEXT " et que prgmZTEXT "q = 1 + a. prgmZTEXT "Montrons alors que lim n->+ (q)^n = prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " +. prgmZTEXT "Daprès le premier prérequis, pour t prgmZTEXT "out entier naturel n, (1 + a)^n >eg prgmZTEXT "1 + na ou encore (q)^n >eg 1 + na. P prgmZTEXT "uisque a > 0, prgmZTEXT "lim n->+ (1 + an) = +. prgmZTEXT "Ainsi, pour tout entier naturel n, ( prgmZTEXT "q)^n >eg 1 + na et lim n->+ (1 + na prgmZTEXT ") = +. prgmZTEXT "Daprès le deuxième pré-requis, on e prgmZTEXT "n déduit prgmZTEXT "que lim n->+ (q)^n = +. prgmZTEXT " prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V Pause :EffDess Goto 0 Lbl 2 DelVar V "ENONCE 1 prgmZTEXT "Pré-requis: prgmZTEXT " On suppose connu le fait quil exis prgmZTEXT "te une fonction f dérivable sur R te prgmZTEXT "lle que f = f et f(0) = 1. prgmZTEXT "Soit g une fonction dérivable sur R prgmZTEXT "telle que g = g et g(0) = 1. On veu prgmZTEXT "t montrer que g = f (et donc la fonc prgmZTEXT "tion f est prgmZTEXT "unique). prgmZTEXT "1) Pour tout réel x, on pose h(x) = prgmZTEXT "f(x)f(x). Montrer que h est constan prgmZTEXT "te sur R. En déduire que la fonction prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " f ne prgmZTEXT "sannule pas sur R. prgmZTEXT "2) Pour tout réel x, on pose k(x) = prgmZTEXT "g(x) prgmZTEXT "f(x). prgmZTEXT " Montrer que la fonction k est const prgmZTEXT "ante sur R. En déduire que g = f. prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 1 prgmZTEXT "1) Pour tout réel x, posons h(x) = f prgmZTEXT "(x)f(x). La fonction h est dérivabl prgmZTEXT "e sur R en tant que produit de fonct prgmZTEXT "ions prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "dérivables sur R et pour tout réel x prgmZTEXT ", prgmZTEXT "h(x) = f(x) * f(x) + f(x) * (f(x prgmZTEXT ")) prgmZTEXT "= f(x) * f(x) + f(x) * (x) * f( prgmZTEXT "x) prgmZTEXT "= f(x)f(x) f(x)f(x) prgmZTEXT "= f(x)f(x) f(x)f(x) (car f = f) prgmZTEXT " prgmZTEXT "= 0. prgmZTEXT "Ainsi, la dérivée de la fonction h e prgmZTEXT "st nulle sur R et donc h est constan prgmZTEXT "te sur R. On en déduit que pour tout prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " réel x, prgmZTEXT "h(x) = h(0) = (f(0))2 = 1. prgmZTEXT "On a montré que pour tout réel x, on prgmZTEXT " a f(x) * f(x) = 1. prgmZTEXT "En particulier, la fonction f ne peu prgmZTEXT "t sannuler sur R car sil existe un prgmZTEXT " réel x0 tel que f (x0) = 0, alors f prgmZTEXT " (x0)× f (x0) = prgmZTEXT "0 different de (= barré) 1. prgmZTEXT "2) Pour tout réel x, posons k(x) = g prgmZTEXT "(x)/f(x). La fonction k est dérivabl prgmZTEXT "e sur R en tant que quotient de fonc prgmZTEXT "tions dérivables prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "sur R dont le dénominateur ne sannu prgmZTEXT "le pas sur R. De plus, pour tout rée prgmZTEXT "l x, prgmZTEXT "k(x) = ( g(x)f(x) g(x)f(x) ) / prgmZTEXT "(f(x))^2 = (g(x)f(x) g(x)f(x)) / ( prgmZTEXT "f(x))2 = 0. prgmZTEXT "La dérivée de k est nulle et donc k prgmZTEXT "est constante sur R. On en déduit qu prgmZTEXT "e pour tout réel x, prgmZTEXT "k(x) = k(0) = g(0) / f(0)= 1/1 = 1. prgmZTEXT "Ainsi, pour tout réel x, prgmZTEXT "g(x) / f(x) = 1 ou encore, pour tout prgmZTEXT " réel x, f(x) = g(x). On a montré qu prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "e g = f prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ENONCE 2 prgmZTEXT "1) lim x->+ e^x = + (Indication. E prgmZTEXT "n étudiant la fonction f(x)= e^x x prgmZTEXT " sur [0, +[, montrer que pour tout prgmZTEXT "réel positif prgmZTEXT "x, on a e^x >eg x). prgmZTEXT "2) lim x-> e^x = 0. prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 2 prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "1) Pour tout réel x positif, posons prgmZTEXT "f(x) = e^x x. La fonction f est dé prgmZTEXT "rivable sur [0, +[ en tant que diff prgmZTEXT "érence de deux prgmZTEXT "fonctions dérivables sur [0, +[ et prgmZTEXT "pour tout réel positif x, on a prgmZTEXT "f(x) = e^x 1. prgmZTEXT "On sait que pour tout réel positif x prgmZTEXT ", e^x >eg 1 et donc la fonction f e prgmZTEXT "st positive sur [0, +[. On en dédui prgmZTEXT "t que la fonction prgmZTEXT "f est croissante sur [0, +[. prgmZTEXT "Puisque la fonction f est croissante prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " sur [0, +[, pour tout réel positif prgmZTEXT " x, on a f(x) >eg f(0) ou encore f(x prgmZTEXT ") >eg 1. prgmZTEXT "En particulier, pour tout réel posit prgmZTEXT "if x, f(x) >eg 0 ou encore e^x x > prgmZTEXT "eg 0 ou enfin e^x >eg x. prgmZTEXT "Ainsi, pour tout réel positif x, e^x prgmZTEXT " >eg x. Dautre part, lim x->+ x = prgmZTEXT "+. On en déduit que lim x->+ e^x = prgmZTEXT " +. prgmZTEXT "2) Puisque lim X->+ e^X = +, on a prgmZTEXT "encore lim X->+ 1/e^X = 0. En posan prgmZTEXT "t X = x, on obtient alors prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "lim x-> e^x prgmZTEXT "= lim X->+ e^X prgmZTEXT "= lim X->+ 1/e^X= 0. prgmZTEXT Pause :EffDess Goto 0 Lbl 3 DelVar V "ENONCE 1 prgmZTEXT "Montrer quune droite est orthogonal prgmZTEXT "e à un plan si et seulement si elle prgmZTEXT "est orthogonale à deux droites sécan prgmZTEXT "tes de ce prgmZTEXT "plan. prgmZTEXT "Pré-requis. On suppose connu la défi prgmZTEXT "nition de lothogonalité dune droit prgmZTEXT "e et dun plan : une droite est orth prgmZTEXT "ogonale à prgmZTEXT "un plan si et seulement si elle est prgmZTEXT "orthogonale à toute droite de ce pla prgmZTEXT "n. prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " prgmZTEXT "DEMONSTRATION prgmZTEXT "Soit P un plan de lespace. Soient D prgmZTEXT " et D deux droites sécantes du pla prgmZTEXT "n P de vecteurs directeurs respectif prgmZTEXT "s u etu prgmZTEXT "Puisque D et D sont sécantes, les v prgmZTEXT "ecteurs u et prgmZTEXT "u ne sont pas colinéaires. prgmZTEXT "Soit une droite de lespace. Soit prgmZTEXT "v un vecteur directeur de la droite prgmZTEXT " . prgmZTEXT " Si la droite est orthogonale au prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "plan P, est orthogonale à toute dr prgmZTEXT "oite du plan P et en particulier e prgmZTEXT "st prgmZTEXT "orthogonale aux droites D et D prgmZTEXT " Réciproquement, supposons que la d prgmZTEXT "roite soit orthogonale aux droites prgmZTEXT " D et D prgmZTEXT "Soit D une droite du plan P de ve prgmZTEXT "cteur directeur directeur u prgmZTEXT " prgmZTEXT "Puisque u et usont deux vecteurs prgmZTEXT "non colinéaires du plan P et que u prgmZTEXT " est un vecteur du plan P, on sait prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "quil prgmZTEXT "existe deux réels λ et tels que prgmZTEXT "u = λu + u prgmZTEXT "Puisque la droite est orthogonale prgmZTEXT "aux droites D et D , on a prgmZTEXT "u .v = 0 et prgmZTEXT "u.v = 0. Mais alors prgmZTEXT "u.v =(λu + u.v prgmZTEXT "= λ ->u .v + u.v prgmZTEXT "= 0 + 0 = 0 prgmZTEXT "Ainsi, un vecteur directeur de la dr prgmZTEXT "oite est orthogonal à un vecteur d prgmZTEXT "irecteur de la droite D et donc l prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "a droite prgmZTEXT "est orthogonale à la droite D prgmZTEXT " prgmZTEXT "On a montré que la droite est orth prgmZTEXT "ogonale à toute droite du plan P et prgmZTEXT "donc que la droite est orthogonale prgmZTEXT " au plan prgmZTEXT "P prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ENONCE 2 prgmZTEXT "Caractériser les points dun plan de prgmZTEXT " lespace par une relation ax + by + prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " cz + d = 0 avec a, b, c trois nombr prgmZTEXT "es réels non prgmZTEXT "tous nuls. prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 2 prgmZTEXT "Lespace est rapporté à un repère or prgmZTEXT "thonormé (O,i ,j ,k) prgmZTEXT " Soit P un plan. Montrons que P adm prgmZTEXT "et une équation cartésienne de la fo prgmZTEXT "rme ax + by + cz + d = 0 où a, b, c prgmZTEXT "sont prgmZTEXT "trois nombres réels non tous nuls. prgmZTEXT "Soient A(xA, yA, zA) un point de P e prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "t ->n(a, b, c) un vecteur normal au prgmZTEXT " plan P. Par définition, le vecteur prgmZTEXT "->n nest prgmZTEXT "pas nul et donc lun au moins des tr prgmZTEXT "ois réels a ou b ou c nest pas nul. prgmZTEXT " prgmZTEXT "Soit M(x, y, z) un point de lespace prgmZTEXT ". prgmZTEXT "M P AM.n = 0 prgmZTEXT " a (x xA) + b (y yA) + c (z z prgmZTEXT "A) = 0 prgmZTEXT " ax + by + cz axA byA czA = 0 prgmZTEXT " prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "En posant d = axA byA czA, on o prgmZTEXT "btient une équation cartésienne de l prgmZTEXT "a forme ax + by + cz + d = 0 où a, b prgmZTEXT " et c prgmZTEXT "sont trois réels non tous nuls. prgmZTEXT " Réciproquement, soit P lensemble prgmZTEXT "déquation ax + by + cz + d = 0 avec prgmZTEXT " a, b, c trois nombres réels non tou prgmZTEXT "s nuls. prgmZTEXT "Montrons que P est un plan prgmZTEXT "Si a différent de 0, le point de coo prgmZTEXT "rdonnées (d/a, 0, 0)appartient à P, prgmZTEXT " si b différent de 0, le point de co prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "ordonnées (0, d/b,0)appartientà P e prgmZTEXT "t si c différent de 0, le point de c prgmZTEXT "oordonnées (0, 0, d/c) prgmZTEXT "appartient à P. prgmZTEXT "Dans tous les cas, lensemble P nes prgmZTEXT "t pas vide. Soit A(xA, yA, zA) un po prgmZTEXT "int de P et soit n le vecteur (a, b prgmZTEXT ", c). Puisque prgmZTEXT "lun au moins des trois réels a ou b prgmZTEXT " ou c nest pas nul, le vecteur n n prgmZTEXT "est pas nul. prgmZTEXT "Dautre part, axA + byA + czA + d = prgmZTEXT "0 et donc d = axA byA czA. prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "Soit M(x, y, z) un point de lespace prgmZTEXT ". prgmZTEXT "M P ax + by + cz + d = 0 prgmZTEXT " ax + by + cz axA byA czA = 0 prgmZTEXT " prgmZTEXT " a (x xA) + b (y yA) + c (z z prgmZTEXT "A) = 0 prgmZTEXT "AM.n = 0 prgmZTEXT "Ceci montre que P est la plan passan prgmZTEXT "t par A et de vecteur normal n et e prgmZTEXT "n particulier que P est un plan. prgmZTEXT Pause :EffDess Goto 0 Lbl 4 DelVar V "ENONCE 1 (A°= 1-A ; ''A barre'') prgmZTEXT "Soient A et B deux événements indépe prgmZTEXT "ndants. prgmZTEXT "Montrer que les événements A et B° s prgmZTEXT "ont indépendants. prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 1 prgmZTEXT "Puisque les événements A et B sont i prgmZTEXT "ndépendants, on a p (A B) = p(A) * prgmZTEXT " p(B). prgmZTEXT "Daprès la formule des probabilités prgmZTEXT "totales, p (A) = p (A B) + p(A B prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "°)et donc prgmZTEXT "p(A B°)= p (A) p (A B) = p (A) prgmZTEXT " p (A) * p (B) = p(A) * (1 p(B)) prgmZTEXT " = p(A) * p(B°). prgmZTEXT "On a montré que p(A B°)= p(A) × p( prgmZTEXT "B°)et donc les événements A et B° so prgmZTEXT "nt indépend prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ENONCE 2 (lamb = lambda = λ) prgmZTEXT "1) Calculer la dérivée de la fonctio prgmZTEXT "n g(x) = (-x-(1/ prgmZTEXT " prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "lamb))e^(-lamb*x) prgmZTEXT "2) Montrer que lespérance de la loi prgmZTEXT " exponentielle de paramètre lamb>0 e prgmZTEXT "st 1/lamb prgmZTEXT " prgmZTEXT "Pré-requis: Lespérance dune variab prgmZTEXT "le aléatoire X suivant une loi expon prgmZTEXT "entielle de paramètre λ > 0 est prgmZTEXT "E(X) = int[0;+] (x*lamb*e^(-lamb*x) prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V ") dx prgmZTEXT "=lim t->+ ( int[0;t] (x*lambe^(-lam prgmZTEXT "b*x)) dx ) prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 2 prgmZTEXT "1) Pour tout réel positif x, prgmZTEXT "g(x) = e^(λx) +(x 1/λ)*(λeλx) prgmZTEXT " prgmZTEXT "= e^(λx) + λxe^(λx) + e^(λx) prgmZTEXT "= λxeλx. prgmZTEXT "Donc, une primitive sur [0, +[ de l prgmZTEXT "a fonction x -> λxeλx est la foncti prgmZTEXT "on x -> (x 1/λ)e^(-lamb*x) prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "2)Soit t un réel positif. prgmZTEXT "int[0;t] (x*lambe^(-lamb*x) dx = [(- prgmZTEXT "x-1/lamb)e^(-lamb*x)]0;t prgmZTEXT "=( t 1/λ)e^(λt) (0 1/λ)e^0 prgmZTEXT "=1/λ 1/λ e^(λt) te^(lamb*t) prgmZTEXT "Ensuite, pour tout réel positif t, prgmZTEXT "teλt = 1/λ * (λte^(λt)) prgmZTEXT "et donc, en posant u = λt et en ten prgmZTEXT "ant compte de lamb > 0, prgmZTEXT "lim t->+ (-te^(-lamb*t)) = lim t->+ prgmZTEXT " (1/lamb * (-lamb*t*e^(-lamb*t)) prgmZTEXT "= lim t->+ (1/lamb * (ue^(u)) prgmZTEXT "=0 d'aps un théorème de croissances prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "comparées. prgmZTEXT "D'autre part, lim t->+ (-1/lamb * e prgmZTEXT "^(-lamb * t) = lim u->+ (-1/lamb * prgmZTEXT "e^(-lamb * u) = 0 prgmZTEXT "Finalement, E(X) = lim t->+ (1/lamb prgmZTEXT "-1/lamb * e^(-lamb * t) - te^(-lamb prgmZTEXT "* t) ) = 1/lamb. prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ENONCE 3 prgmZTEXT "Soit X une variable aléatoire suivan prgmZTEXT "t la loi normale centrée réduite N(0 prgmZTEXT ", 1 ). On note f la densité de la lo prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "i normale prgmZTEXT "centrée réduite. prgmZTEXT "Pour tout réel positif x, on pose F( prgmZTEXT "x) = p (x <eg X <eg x) = int[-x;x] prgmZTEXT "(f(t))dt puis H(x) = p(0 <eg X <eg x prgmZTEXT ") = int[0;x] (f(t))dt prgmZTEXT "1) En invoquant des raisons géométri prgmZTEXT "ques, montrer que pour tout réel pos prgmZTEXT "itif x, F(x) = 2H(x). prgmZTEXT "2) Montrer que pour tout réel α de [ prgmZTEXT "0, 1 [, léquation H(x) = (1 α)/2 prgmZTEXT "a une unique solution. prgmZTEXT "3) En déduire que pour α ]0, 1 [, i prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "l existe un unique réel positif uα t prgmZTEXT "el que p (Uα <eg X <eg Uα) = 1 α. prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "DEMONSTRATION 3 prgmZTEXT "1) On sait que pour tout réel t, f(t prgmZTEXT ") = 1/(√(2π)) * e^( (t^2)/2) . Pour prgmZTEXT " tout réel t, on a f(t) = f(t) et d prgmZTEXT "onc le graphe de f est prgmZTEXT "symétrique par rapport à laxe des o prgmZTEXT "rdonnées. prgmZTEXT "Soit alors x un réel positif. Puisqu prgmZTEXT "e la fonction f est continue et posi prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "tive sur [0, x] (respectivement [x, prgmZTEXT " x]), H(x) prgmZTEXT "(respectivement F(x)) est laire du prgmZTEXT "domaine du plan compris entre laxe prgmZTEXT "des abscisses, la courbe de f et les prgmZTEXT " droites prgmZTEXT "déquations respectives t = 0 et t = prgmZTEXT " x (respectivement t = x et t = x). prgmZTEXT " Pour des raisons de symétrie, F(x) prgmZTEXT "est le prgmZTEXT "double de H(x). prgmZTEXT "2) La fonction f est continue sur [0 prgmZTEXT ", +[. Donc, la fonction H est dériv prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "able sur [0, +[ et sa dérivée est H prgmZTEXT " = f. prgmZTEXT "Puisque la fonction f est strictemen prgmZTEXT "t positive sur [0, +[, la fonction prgmZTEXT "H est strictement croissante sur [0, prgmZTEXT " +[. prgmZTEXT "La fonction H est dérivable sur [0, prgmZTEXT "+[ et en particulier, la fonction H prgmZTEXT " est continue sur [0, +[. prgmZTEXT "H(0) = int[0;0]f(t)dt=0 prgmZTEXT "La limite de la fonction H en + est prgmZTEXT " la moitié de laire du domaine comp prgmZTEXT "ris entre laxe des abscisses et la prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "courbe prgmZTEXT "représentative de f. On sait que cet prgmZTEXT "te aire totale est égale à 1 (car f prgmZTEXT "est une densité de probabilité). Par prgmZTEXT " suite, prgmZTEXT "lim x->+ (H(x)) = 1/2. prgmZTEXT "Soit alors α ]0, 1 [. Donc 1 < α prgmZTEXT "< 0 puis 0 < 1 α < 1 et enfin, 0 < prgmZTEXT " (1 α)/2 < 1/2 prgmZTEXT "En résumé, prgmZTEXT " la fonction H est continue et stri prgmZTEXT "ctement croissante sur ]0, +[, prgmZTEXT "(1 α)/2 ] H(0); lim x->+ H(x)[ prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " = ] 0; 1/2 [ prgmZTEXT "Daprès un corollaire du théorème de prgmZTEXT "s valeurs intermédiaires, léquation prgmZTEXT " H(x) = (1 α)/2 admet une unique s prgmZTEXT "olution dans prgmZTEXT "]0, +[. On note Uα cette solution. prgmZTEXT "Uα est un réel positif. prgmZTEXT "3) Soit α ] 0, 1 [. Soit x un réel prgmZTEXT "positif. prgmZTEXT "p (x <eg X <eg x) = 1 α F(x) = prgmZTEXT "1 α 2H(x) = 1 α H(x) = (1 prgmZTEXT "α)/2 . prgmZTEXT "Daprès la question précédente, il e prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "xiste un unique réel positif uα tel prgmZTEXT "que p (Uα <eg X <eg Uα) = 1 α. prgmZTEXT " prgmZTEXT " prgmZTEXT "ENONCE 4 prgmZTEXT "Démontrer que si la variable aléatoi prgmZTEXT "re Xn suit la loi B(n, p), alors, po prgmZTEXT "ur tout α dans ] 0, 1 [ on a, prgmZTEXT "lim n->+ P(Xn/n In) = 1 - α prgmZTEXT "où In désigne lintervalle [p- Uα*(√ prgmZTEXT "(p(1p) / √n) ; p+ Uα*(√(p(1p) / √ prgmZTEXT "n) ] prgmZTEXT " prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V "DEMONSTRATION 4 prgmZTEXT "Soit Z une variable aléatoire suivan prgmZTEXT "t une loi normale centrée réduite. prgmZTEXT "Soit Zn = (Xn n)/σn = prgmZTEXT "(Xn n*p) / (√(np(1 p))) la varia prgmZTEXT "ble aléatoire centré réduite associé prgmZTEXT "e à Xn. prgmZTEXT "On a donc Xn = np + √(np(1 p))*Zn. prgmZTEXT " prgmZTEXT "Daprès la formule de Moivre-Laplace prgmZTEXT ", on sait que pour tous réels a et b prgmZTEXT ", prgmZTEXT "lim n->+ (P (a <eg Zn <eg b)) = P(a prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " <eg Z <eg b). prgmZTEXT "Or, prgmZTEXT "a <eg Zn <eg b √(np(1 p))*a <eg prgmZTEXT "√(np(1 p))*Zn <eg √(np(1 p))*b prgmZTEXT " np + √(np(1 p))*a <eg np + √(np( prgmZTEXT "1 p))*Zn <eg np + √(np(1 p))*b prgmZTEXT " np + √(np(1 p))*a <eg Xn <eg np prgmZTEXT "+ √(np(1 p))*b prgmZTEXT " np + √(np(1 p))*a/n <eg Xn/n <eg prgmZTEXT " np + √(np(1 p))*b/n prgmZTEXT " p + a*√n*√(p(1 p))/(√n * √n) <eg prgmZTEXT " Xn/n <eg p + b*√n*√(p(1 p))/(√n * prgmZTEXT " √n) prgmZTEXT Pause :EffDess:DelVar V " p + a*√(p(1 p))/√(n) <eg Xn/n <e prgmZTEXT "g p + b*√(p(1 p))/√(n) prgmZTEXT "Donc, prgmZTEXT "lim n->+ ( P(p+ a*(√p(1-p))/√n <eg prgmZTEXT "Xn/n <eg p+ b*(√p(1-p))/√n )= P(a <e prgmZTEXT "g Z <eg b). prgmZTEXT "En particulier, si a = Uα et b = Uα prgmZTEXT ", on obtient, prgmZTEXT "lim n->+ P( Xn/n In) = P(Uα <eg prgmZTEXT "Z <eg Uα) = 1 α prgmZTEXT "par définition de uα. prgmZTEXT Pause :EffDess Goto 0 Lbl Q EffDess:Disp "