[Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

[Hayleia]

Bon, j'ai cherché une solution qui n'utilise pas les complexes et... je crois que j'ai fait plein d'erreurs de calculs -.-°
Donc je poste l'idée ici et ceux qui sont capables de calculer peuvent voir si ça marche.

J'ai donc considéré la fonction f, 34-périodique, x→sin(16*Pi*x/17)/sin(Pi*x/17).
Il faut calculer sa série de Fourier (j'ai probablement fait des erreurs de calcul ici), montrer qu'elle converge (si elle converge, mais vu que mes calculs étaient probablement faux je n'ai pas encore cherché si elle convergeait vraiment) et la somme voulue est f(1), à un éventuel coefficient multiplicatif près (dû à une autre erreur de calcul).

[Bisam]

Hayleia :
1) Ta fonction (prolongée là où il le faut) est en fait un polynôme trigonométrique !! (Pense aux polynômes de Tchebychev de 2ème espèce)
2) Sa série de Fourier est par conséquent égale à ce polynôme trigonométrique à partir d'un certain rang... et converge donc obligatoirement (pour tous les types de convergence que tu voudras...)
3) Je ne vois pas le rapport entre ta fonction et la somme à calculer... sauf en utilisant à nouveau les complexes...
4) L'idée était de trouver une réponse abordable en 1ère... donc l'utilisation de Fourier n'est pas forcément la plus adaptée !

Par contre, ça vient de me donner une piste pour l'adapter à des 1ère (il faut quand même qu'ils connaissent les formules d'addition du sinus...)
Voici la marche à suivre :

On pose t=pi/17 pour simplifier et S la somme recherchée.
1) Pour chaque k entier, exprimer 2*cos((2k+1)t)*sin(t) comme la différence de 2 sinus.
2) En déduire que 2*S*sin(t)=sin(16t)
3) En déduire S.